Знакомства за границей без регистрации

для того чтобы волчок врашзлся со скоростью до 500 оборотов в секунду (наибольшая достигнутая в настоящее время скорость), необходимо, чтобы частота пере – менного тока, питающего волчок, была немного больше этого; поэтому и электрический ток для волчка должен быть взят от специальных машин, производящих переменный ток такой повышенной частоты (обычный переменный ток городских сетей имеет частоту всего в 50 периодов тяжести волчка, его оболочки и поплавка помещается ниже опоры, и все приспособление обладает устойчивым равновесием. к поплавку прикреплена сверху так называемая роза компаса /? /? , т. е. круг с делениями, которые можно наблюдать сквозь верхнее окно компаса. на розе помечено направление оси волчка, а на знакомства за границей без регистрации — электрический ток, поддерживающий вращение волчка, подводится тремя проводами у3» из которых один соединен со ртутью кольцеобразного сосуда (а следовательно и с поплавком и с оболочкой волчка), тогда как другие два, изолированные от первого, окунуты в чашечки со ртутью из этого краткого описания мы видим, что ось волчка-компаса может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости (вокруг вертикальной оси), как деклинаторий, но в то же время поплавок может немного наклониться и ось волчка может немного подниматься и опускаться вблизи горизонтальной плоскости, как инкланаторий. для определения движения волчка-компаса мы воспользуемся уравнениями, полученными нами на стр. 128, знакомства за границей без регистрации, и притом в эйлеровых ко – ординатах, откинув в них средние члены с множителями ф2 и йф по их малости знакомства за границей без регистрации сравнению с остальными членами. мы имеем (при постоянном г): приняв во внимание, что теперь мы имеем дело с волчком, ось которого почти горизонтальна, мы должны в этих уравнениях положить момент внешних сил вокруг линии узлов nn перпендикулярной к оси о к будет состоять из двух частей: из момента силы тяжести и из реактивного момента волчка m*t обусловленного вращением земли. согласно тому, что мы вычислили в предыдущем параграфе для инкли – момент внешних сил вокруг оси oz обусловлен реактивным введя все это в уравнения движения и переставляя члены, получаем: мы опять имеем перед собой уравнения связанных колебаний (стр. 149, 98), причем частоты собственных колебаний каждой системы так как связь здесь несомненно сильная, то мы можем для частот результирующих колебаний применить сокращенные формулы (стр. 151, 99): частота d представляет собоя быстрые нутации оси волчка, которые едва заметны и нас заесь интересов – ть не будут. для частоты а” мы имеем соотношение между амплитудами колебаний а и (5, формулу: к этому необходимо еще добавить, что уравнение для р содержит еще и постоянный член cro) sirup, а потому знакомства за границей без регистрации [$ будет представлять около которого происходят гармонические колебания. итак, решение уравнений движения волчка-компаса мы можем теперь амплитуда а0 зависит от начального толчка, между тем как постоян* ное отклонение р2 от толчка не зависит, а обусловлено вращением земли и моментом силы тяжести. это отклонение р2 можно при желании из знакомства за границей без регистрации формул мы видим, что колебания аир имеют одинаковую частоту, разность фаз в 90° и различные амплитуды. так как направления этих отклонений а и р перпендикулярны друг к другу, то результирующее движение конца оси волчка будет представлять собой эллипс (ч. ii, стр. 133, 91). в этом эллипсе вертикальная полуось р0 гораздо меньше горизонтальной; кроме того, центр эллипса будет поднят в действительности угол а0 колеблется обычно между пределами 4-5°, тогда как угол р0 очень мал и остается в пределах ± 8′. частота колеба – ний аг так мала, что период колебаний г=—- доходит до 50 минут. 119. примечания к расчету волчка-компаса. в уравнения движения волчка-компаса мы ввели реактивные моменты волчка: при этом может возникнуть вопрос, почему явилась необходимость ввести эти моменты, когда волчок, повидимому, свободен в своих движениях, в противоположность инклинаторию и знакомства за границей без регистрации фуко (стр. 167, 117). дело в том, что основные уравнения моментов составлены в предположении, что координаты 0xyz неподвижны в пространстве, а между тем земные координаты, относительно которых мы измеряем углы аир, движутся вместе с землей. поэтому для получения правильных результатов мы должны или перейти от подвижных координат к неподвижным или ввести добавочные силы (у нас введены моменты сил). то же �
�амое мы делаем и в других случаях; так, например, вертикальное положение отвеса определяется силой тяжести; но вследствие вращения земли получается отклонение (ч. ii, стр. Знакомства за границей без регистрации, 136), которое мы объясняем теоретически, вводя добавочную силу, а именно: центробежную силу вращения земли. для того чтобы это было еще более наглядно, мы сделаем так: в уравнениях волчка-компаса мы не будем вводить добавочные реактивные моменты, но зато перейдем от подвижных координат к неподвижным. для этого нам достаточно заменить относительные изменения углов аир 120] дальнейшие усовершенствования волчка-компаса 171 абсолютными их изменениями по отношению к системе координат, не участвующей во вращении земли. в таком случае нам нужно к величинам аир прибавить изменения, обусловленные вращением земли. эти добавочные изменения мы уж вычисляли на стр. 164, 115. итак, мы должны а добавочные реактивные моменты откинуть. тогда получаем: что касается способа решений этих уравнений, то здесь возможно упрощение. так как отклонения а и [$ невелики, а период колебаний очень велик, то ускорения р и а будут настолько малы, что первые члены уравнения можно откинуть и ограничиться следующими: эти уравнения представляют собой не что иное, как частный случай знакомства за границей без регистрации упрощенного уравнения моментов (стр. 124, 93): взяв производную по времени от первого уравнения и подставив в него значение ^ из второго уравнения, получаем: отсюда определяем частоту колебаний угла а, а затем из первого уравнения— постоянное отклонение и колебания угла [$. результаты согласуются с тем, что мы имели знакомства за границей без регистрации более строгом расчете. 120. дальнейшие усовершенствования волчка-компаса. изложенная в предыдущих параграфах теория показывает, что волчок, действительно, может служить компасом; он имеет устойчивое положение в меридиане, а при случайном толчке совершает около этого положения гармонические колебания. большой период колебания оси волчка имеет то преимущество, что корабельная качка, период колебания которой в несколько секунд, на нее почти не влияет. но с другой стороны большой период колебаний не позволяет быстро определить среднее положение оси, т. е. направление плоскости меридиана. по этим причинам появилась необходимость устроить добавочное приспособление для возможно быстрого затухания колебаний. далее, опыт показал, что хо? я долевая качка корабля (вокруг оси, перпендикулярной к оси корабля) и не влияет на компас, но поперек* ная качка (вокруг оси корабля) может раскачивать его значительно, так как собственные колебания волчка с поплавком вокруг точки подвеса инеют период около одной секунды. более того, если ось корабля со* ставляет некоторый угол с осью волчка (с меридианом места), то поперечная качка производит односторонние отклонения оси волчка (угол а), и тогда пригодность волчка для мореплавания является сомнительной. это затруднение было преодолено м. шулером который предложил применять для компасов не один волчок, а систему из трех волчков, оси которых расположены в одной горизонтальной плоскости под углом в 60° друг к другу. при таком устройстве роза компаса по всем направлениям имеет период колебаний около 50 минут, и качка корабля (с периодом от 4 до 12 секунд) не оказывает на нее заметного действия. другие конструкторы вместо двух добавочных волчков устраивают один добавочный волчок с вертикальной осью для достижения той же на показания волчка-компаса могут влиять и другие причины. из полученных нами формул мы видим, что на постоянное отклонение р0 влияет широта места. при устройстве затухания колебаний появляется также постоянное отклонение и угла а0. однако оба эти отклонения очень малы, и для них составлены таблицы. далее, скорость корабля тоже может повлиять на показания компаса. мы предлагаем читателю самому знакомства за границей без регистрации, почему при движении корабля вдоль знакомства за границей без регистрации на север ось волчка должна отклоняться на запад, тогда как при движении на юг ось волчка будет отклоняться на восток. впрочем, и эти отклонения, как нетрудно подсчитать, незначительны и тоже могут быть приняты во внимание как поправки при отсчете показаний розы компаса. несмотря на все указанные влияния волчки-компасы начинают входить в практику и заменять магнитные компасы, потому что влияние железных корабельных частей и электрических установок корабля на в 1921 г.

Знакомства волгоградская область михайловка

что касается моментов инерции земли с и л, то для предварительного подсчета мы можем принять землю за однородный эллипсоид где а означает радиус экватора, а с — полуось земли. так как разница между величинами а и с сравнительно мала, то мы можем принять: справа поставлено численное значение сплюснутости земли, как оно определено непосредственными геодезическими измерениями. подставив эти данные в формулу прецессии, получаем: между тем, на самом деле предварение равноденствия имеет угловую т. е. почти в три раза ббтьшую. такое расхождение нашей теории с астрономическими наблюдениями произошло оттого, что мы еще не если мы сопоставим величины тир для солнца и луны: расстояние р земли от солнца 1, 5 • 1013 см\ — от луны 3, 8 • 1010 см% то найдем, что множитель —|, входящий в формулу прецессии, для знакомства волгоградская область михайловка сил, обусловленных луной, вдвое знакомства волгоградская область михайловка, чем для момента, обусловленного солнцем. таким образом, чтобы принять во внимание действие солнца и луны вместе, нам нужно наш результат умножить на 3. тогда на самом деле годовая прецессия равна 50″ (угловым секундам)знакомства волгоградская область михайловка, из которых 16″ мы дожны приписать влиянию солнца и 34″ — влиянию луны. впрочем, наш расчет имел значение только первого приближения; мы принимали землю за однородный эллипсоид вращения, что далеко не соответствует действительное! и. так как расспределение масс внутри земли с точностью неизвестчо, то было бы знакомства волгоградская область михайловка произвести расчет в обратном порядке, считая величины а и с неизвестными, а вели – чину ф взять из наблюдений. при таком расчете мы получили бы: как видим, эта величина лишь немного отличается от принятой нами ¦ ¦ ¦ и, следовательно, главная причина предварения равноденствий нами определена правильно. более подробные исследования этого вопроса само собой разумеется, что определенная нами псевдорегулярная прецессия земли должна сопровождаться нутациями, амплитуду коюрых при этом расчете мы можем положить а знакомства волгоградская область михайловка с и получим угловое значение колебания земной оси, знакомства волгоградская область михайловка 0, 5 • 10″”7, что соответствует на поверхности земли расстоянию всего в 27 см. на самом же деле были обнаружены колебания оси земли в несколько метров; но эти колебания имеют совсем иную причину (деформации земного тара и т. п. ), и мы 123. предварительные замечания. прежде чем перейти к теоретическому исследованию качения твердого тела, мы должны саелать действительные твердые тела не обладают абсолютной твердостью, а потому при соприкосновении двух тел оба соприкасающиеся тела немного сжимаются. степень этого сжатия зависит от величины тех сил, котор . ie возникают р месте соприкосновения, и от коэфициентов упругости то. о распространяется на всю эту площадку, но неравномерно: рис. 113. вдавливание тогда как к краям дав пение постепенно умень – распределенного давления и сжатие соприкасающихся тел тоже будет неравномерным. более того, материал плоского тела опустится в центре знакомства волгоградская область михайловка, тогда как у краев площадки образуется выпучивание материала (рис. 113). теперь представим себе, что этот шар катится или скользит по поверхности плоского тела. ясно, что при перемене относительного положения тел вдавливание и выпучивание материала тел будет изменяться и движение тел будет сопровождаться целым рядом разнообразных сил (силы упругости обоих тел, силы трения между телами и знакомства волгоградская область михайловка. д. ). однако расчет всех этих сил представил бы значительные затруднения, и во всяком случае это выходило бы из рамок „механики твердого тела”. поэтому мы должны ввести здесь упрощения, стараясь в то же время насколько возможно ближе подойти к действительности. первое упрощение, которое мы сцелаем, заключяется в том, что мы будем принимать тела настолько твердыми (коэфициент упругости настолько большим), что их вдавливанием можно пренебречь и рассматривать соприкосновение тел как геометрическое. вместо рис. 113 мы что же касается сил, возникающих np. i физическом соприкосновении по всей площадке dd (рис. 113), то мы будем их считать отнесенными к точке соприкосновения d (рис. 114). си ты эти будут следующие, 1) сила трения, сопротивляющаяся сдвигу или скольжению (ср ч ii, стр. 50 35) одного тела по другому. в эту силу мы включаем и си, 1ы упругости ( давливания, выпучивания) и поверхн
остные силы. на основании многочисленных опытов можно принять результирующую всех этих сил пропорциональной нормальному давлению af соприкасающихся тел, а направление этой результирующей принять противоположным скольжению одного тела по другому. обозначая козфициент пропорциональности козфициент f будет зависеть от свойств материала и от свойств поверхности (шероховатость или гладкость) соприкасающихся тел. если на тело действует сила, параллельная плоскости соприкосновения, но меньшая, чем fv то скольжения не произойдет; тем не менее, в месте соприкосновения тел вдавливание и выпучивание изменятся, и возникнет направленная реакция fr (рис. 114). в результате мы произвести скольжение, тем не менее, может произвести поверхностей. основываясь на опытных данных, мы можем момент и этих сил тоже принять пропорциональным нормальному давлению впрочем, необходимо заметить, что силы, сопротивляющиеся качению, большей знакомства волгоградская область михайловка настолько малы, что при наличии трения скольжения 3) момент сил трения, сопротивляющийся вращению тела вокруг нормали к плоскости соприкосновения. происхождение этого момента тоже ясно из рис. 113. величина его тоже пропорциональна нормальному давлению. этот момент сил не имеет значения для движения тела вдоль плоскости соприкосновения тел, но он задерживает вращение тела вокруг нормали к этой плоскости. при небольшом вдавливании тел момент этот 124. чистое качение. чиаым качением мы будем называть такое движение одного тела вдоль поверхности другого тела, которое не предположим, что тело в (рис. 115) неподвижно и по нему катится тело а. в некоторый небольшой промежуток времени dt тело а перейдет из положения л в соседнее положение av при этом точка соприкоснове – ния обоих тел net вместится на теле в из а в av а на теле а из а в 6. обозначим через г радиус кривизны дуги ds2 и через da соответствующий этой дуге центральный угол. тогда условие чистого качения самый простой случай качения мы имеем прч движении кругового цилиндра по знакомства волгоградская область михайловка ижной плоскости. на рис. 116 изображено сечение этою цилиндра плоскостью чертежа, перпендикулярной к той плоскости, по которой цилиндр катится; при этом круг, изображенный на рис. 1)6, буд. т катиться по линии авг за некоторое время t круг перейдет из окружности круга с плоскостью качения пройдет по этой окружности при чистом качении величина $ должна равняться передвижению точки в то жз самое гремя ав1=^001 — перемещению центра круга. отсюда мы заключаем, что при чистом качении цилиндра по плоскости перемещение оси цилиндра х и угол поворота цилиндра а связаны знакомства волгоградская область михайловка производную по времени, получаем соотношение между скоростями; поступательная скорость оси цилиндра и его вращательная скорость это уравнение и будет представлять условие чистого качения цилин – если цилиндр не только катится, но еще и скользит впереди то мы напротив, если цилиндр скользит назад, мы получим: 125. примеры чистого качения.

Знакомства в зеленограде без регистрации

диаграмма сплюснутого волчка. образуют замкнутый треугольник, но в отличие от предыдущего случая ь^>и. кроме того, вектор а образует с вектором к тупой угол. вследствие это! о, если смотреть на вращающийся волчок по оси к, мы увидим, что врлцение волчка и его прецессия имеют противоположное направление, между тем как в предыдущем случае оба эти движения были одного направления знакомства в зеленограде без регистрации(векторы образовали острый угол). иногда обозначают это различие словами: движение ретроградное и прогрессивное, или если мы применим термин конус прецессии (конус, описываемый вектором а), то можем сказать, что в вытяну! ом волчке все три конуса — конус полодии, конус герполодии и конус прецессии — направлены своими отверстиями в одну сторону, тогда как при сплюснутом волчке конус прецессии направлен своим отверстием противоположно отверстиям конусов полодии и герполодии (ср. рис. 64 и рис. 65). 80. эйлеровы координаты. в предыдущей главе мы грименяли уравнения эйлера, в которые входят проекции угповой скорости вращения тела и, а также и проекции моментов внешних сил на оси координат, вращающиеся вместе с телом. для получения данных о вращении тела относительно неподвижного пространства мы должны были перейти от от – носителшых вращений к абсолютным вращениям, причем использовали и теорему пуансо. можно, однако, составить уравнения движение, в которые входили бы проекции угловых скоростей и моментов на координаты, неподвижные в пространстве, и в некоторых случлях эго удобнее плоскости координат x0yq и xy обеих систем будут пересекаться друг с другом по некоторой прямой on (линия узлов рис. 20, ч. ii), а знакомства в зеленограде без регистрации, перпендикулярную к on и лежащую в плоскости xy, мы обозначим этими тремя углами вполне определяется положение системы коорди* нат oxyz (а следовательно, и положение всего твердого тела) относительно неподвижной сис<емм ox0y{)z0 для того чтобы дока ать это, представим себе, что сперва система oxyz совпадала с неподвижной системой ox y0ziy затем при заданном угле мы проводим в плоскости xqy0 линию on и повертываем систему oxyz вокруг этой линии on (как вокруг оси) на угол ft так, чтобы ось oz заняла свое положение^ как на рис. 70. 3aiem, повернув систему oxyz (т. е. все твердое тело) вокруг оси oz на угол ср, мы получаем и положение осей ох и о к, как показано на рис. 70. таким образом двумя вполне определенными поворотами подвижной системы вокруг осей on – и oz mbi перешли от положения неподвижных координат к положению подвижных координат. следовательно, три выбранных нами угла в, ф, ср вполне определяют при изучении движения твердого тела вокоуг неподвижной точки нас будет интересовать не столько преобразование координат, как преобра – зо ание угловых скоростей в уравнения эйлера входили проекции оси, перпендикулярной к плоскости угла поворота, и притом по правилу угловая скорость ft имеет направление по оси on (рис. 71), и ее составляющие по осям координат oxyz равны соответственно: угловая скорость ф имеет направление по оси oz0; мы ее разложим сперва на два взаимно перпендикулярных направления oz и ol: а затем эту последнюю составляющую мы опять разложим на две — по ох тепепь нам остается только собрать все составляющие по отдельным осям oxyz и полученные суммы приравнять проекциям р9 q, п 108 vi. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки отсюда нетрудно получить и формулы обратного перехода: 81. уравнения движения в эйлеровых координатах. полученные нами выражения мы могли бы подставить в уравнения эйлера и, изменив соответственно проекции моментов сил, получить уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в эйлеровых координатах. однако мы предпочитаем вывести эти уравнения независимо от прежних, исходя из выражения для энергии тела и применив метод лагранжа (ч. п. стр. 231, 151). мы ограничимся случаями, когда а = в. кинетическая энергия т вращающегося тела (для удобства письма мы берем удвоенную энергию) выразится теперь формулой: 2т=а (p* + q^ + cr* = a(sin4-v + b2)-{-c (<b, cos»-f-<p)a. проекции момента импульса к на различные оси мы получим, взяв частные производные от кинетической энергии по соответствующей угловой скорости (стр. 24, 19). для большей ясности мы поставили у проекции момента импульса два значка: один из них указывает на ось, на которую берется проекция, а другой — на соответствующую этой оси (обозначение г мы оставили и в этих формулах для сокращения письма; значение же г, выраженное через координаты эйлера, у нас дано выше. ) для составления уравнений лагранжа нам е
ще необходимы частные производные по угловым координатам. прежде всего мы видим, что координаты ф и <р совсем не входят в выражение кинетической энергии (входят только угловые скорости ф и ср). поэтому мы имеем: как известно, угловым координатам соответствуют моменты сил (ч. ii, стр 231, 151), поэтому уравнения лагранжа для каждой угловой составляя подобное уравнение для координат &, (р, ср, получаем следующие уравнения движения в эйлеровых координатах: atw = аф sin2 s – f 2 аф » sin & cos s + cr cos » — cr b sin 6; и здесь мы нашли более удобным оставить в формулах величину г, хотя она и не относится к эйлеровым координатам, но, вводя ее, , мы 82. прецессия свободного волчка. в качестве примера применения уравнений предыдущего знакомства в зеленограде без регистрации мы разберем еще случай волчка, на который не действуют моменты внешних сил (ср стр. 115, 87). далее, вполне возможен случай, когда при мд = 0 угол & остается во все время движения постоянным; это условие будет соблюдено, если мы выберем направление оси oz по направлению вектора к момента импульса вращающегося волчка. положив в первом уравнении моментов эту величину ф мы прежде обозначили вектором ь; она представляет собой угловую скорость вращения оси волчка вокруг oz (оси момента импульса к) и называется прецессией волчка. в рассматриваемом случае эта прецессия регулярна (величина ф не меняется со временем). наконец, положив в формулах преобразования угловых скоростей по vi. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки все эти результаты совпадают с тем, что мы получили из уравнений эйлера. разница в наших вычислениях состоит только в том, что прежде мы относили уравнения движения тела к координатам, вращающимся вместе с телом, а затем определяли движение по отношению к неподвижным координатам, тогда как сейчас мы шли обратным путем. 83. прецессия и нутация. прецессией мы назвали изменение со временем угла ф в эйлеровых координатах, изменение же угла & мы будем называть нутацией в предыдущем параграфе мы выбрали направление неподвижной, оси ozql совпадающее с направлением вектора момента импульса волчка к. ори таком выборе координат у нас угол & оказался постоянным, и, следовател» но, никакой нутации не получилось; кроме того, угловая скорость прецессии ф оказалась постоянной но если бы мы выбрали другое направление н? подвижной оси ozqt то, хотя угол межау векторами а и к’ оставался бы при движении постоянным, тем не менее угол между осью волчка и осью oz0 изменялся бы, и мы получили бы нутацию. действительно, ось волчка описывает вокруг неподвижной оси к круговой конус, и в некоторы мом* нгы времени < сь ро 1чкч будет находиться вне угла, образуемого к с осью oz0 тогда как, обойдя пол-оборота прецессионного движения в жруг оси к, ось волчка придется внутри этого угла. таким образом угол & между осью воччка и осью oz0 будет меняться периодически с частотой, равной угловой скорости прецессии вместе с изменением угла & будет при таком движении изменяться и угол ф, и притом с тою же самою частотою ф0. прецессия ф относительно тех координат, которые мы теперь прзнакомства в зеленограде без регистрации препесии. предположим, что в некоторый моме it времени tq мы сообщаем оси волчка толчок, т. е. мгновенную силу f, приложенную к точке а оси на расстоянии г от его i;e »тра тяжести. это означает, что в момент возмени t0 начал действовать неко – торый момент сил md=[rf], стремящийся повернуть волчок вокруг оси омъ (рис. 72) и произвести отклонение оси на некоторый угол &.

Знакомства в усть катаве

в большинстве случаев нам удобно будет точку о с координатами xv yv гг взять в центре тяжести твердого тела, или в действительном закреплении тела; положение же тела относительно закрепленной точки мы можем определить следующим образом. точку о мы примем за начало двух систем декартовых координат (прямолинейных и прямдугольных; рис. 1); одну из этих двух систем oqxqy0z0 мы будем считать неподвижной в пространстве (эту систему мы можем принять параллельной той неподвижной системе координат, относительно которой мы дали координаты х1у yv zv начальной точки о); другую систему координат oxyz с тем же началом о мы представим себе неизменно связанной с материальными точками твердого тела и участвующей во всех движениях тела относительно точки о (на рис. 1 эти координатные оси соединены пунктирными прямыми линиями). но положение всех точек твердого тела относительно системы координат oxyz остается неизменным, а потому для определения положения твердого тела в про – странстве нам достаточно дать положение координат oxyz относительно координат ox0y0z0. мы знаем, что относительное положение двух систем координат с общим началом определяется знакомства в усть катаве углами (или девятью косинусами углов), которые образуют оси одной из систем с осями другой системы (ср. ч. i, стр. 160, 142, ч. ii, стр. 194, 126); но так как обе наши системы прямоугольны, то между косинусами углов наклонения таких соотношений всего шесть, и следовательно, независимых углов остается только три в согласии с тремя степенями свободы твердого тела, закрепленного одной точкой о. самый выбор знакомства в усть катаве (независимых) основных углов остается и в этом случае произвольным, и. мы ниже в главе vi) познакомимся с координатами ср, ф, 0, предложенными эйлером, которые оказались наиболее удобными для описания движения твердого первых, мы предположим, что весь треугольник оав, оставаясь себе на* раллельным, переместился в положение oja’b1 пусть on представляет линию пересечения плоскостей 01а1в1 и oja’b9. повернем плоскость треугольника о^а’в1 вокруг on так, чтобы она совпала с плоскостью ojajb^ затем повернем тот же треугольник ога9в’ вокруг оси ol, перпендикулярной к плоскости 01a1bv до совпадения его с треугольником огагвг так как оба совершенных нами поворота элементарны (углы поворота бесконечно малы), то с ними можно обращаться как с векторами (ч i. стр. 28, 26), и заменить два поворота одним поворотом вокруг некоторой оси o^u (рис. 2) на некоторый угол da. таким образом перемещение треугольника из положения оав в положение 01а1в1 мы можем расчленить нз поступательное движение ог0 = с135). разложим вес тела q на две составляющие, одну возьмем нормально к плоскости, а другую параллельно плоскости: вторая составляющая будет стремиться сдвинуть тело вниз по плоскости, в то время как первая составляющая будет прижимать тело к плоскости; вследствие этого возникнет сила трения, пропорциональная этому давлению: зависит от веса тела, а зависит от угла наклона плоскости а и от величины коэфициента трения / тела о плоскость. если мы постепенно будем увеличивать уклон плоскости до тех пор, пока тело не начнет таким способом можно определить коэфициент трения / опытным путем. однако надо иметь в виду, что трение скольжения в начале движения всегда несколько больше чем во время движения, а потому указан – ный способ определения коэфициента/не может дать знакомства в усть катаве результатов, 51. равновесие сыпучего тела. если мы рассмотрим ближе кучку песка, то она нам представится в виде груды песчинок разнообразной формы, лежащих друг на друге в самых разнообразных положениях, подобно груде камней; отдельные песчинки удерживаются в равновесии частью выступами ниже лежащих песчинок, частью силою трения между песчинками. таким образом поверхность песка образует выступы и знакомства в усть катаве весьма неправильной формы, зависящей от случайного расположения песчинок. однако, если нас интересует не положение отдельных песчинок, а общая форма, которую принимает сыпучее тело при равновесии, то мы можем заменить действительную неровную поверхность сыпучего тела некоторой средней поверхностью и объяснить наклон этой средней поверхности к горизонту трением песчинок об эту поверхность. чем меньше размеры песчинок, тем ближе будет наше предположение к действительности. такой прием, — замена действительного неоднородного тела некоторым воображаемым однородным телом, — часто применяется в теоретической физике для того, чтобы сделать наблюдаемые явления доступными рас�
�ету. например, в механике мы принимаем твердые, жидкие и газообразные тела за сплошные^ а между тем мы знаем, что они состояпг итак, мы будем принимать сыпучие тела, каковы сухой песок, сухая земля, различного рода зерно, насыпанное в мешках или закромах, тоже за сплошные тела, отдельные материальные точки которых (в отличие от твердых тел) могут передвигаться друг относительно друга, причем соприкасающиеся частички действуют друг на друга с силой трения, законы которого те же, что и для твердых тел (см. ч. ii стр. 50, 35). приняв это, нам нетрудно написать условие, которое должно быть соблюдено для того, чтобы какая-либо частица песка (песчинка) т (рис. 36) могла лежать на поверхности ав сыпучего тела. применяя результаты предыдущего параграфа, мы можем написать это условие рис. 36. естественный откос, неоднородности и шероховатости сыпучего тела. любой песчинки (любой материальной точки), лежащей на поверхности песка, то оно применимо игк самой поверхности. итак, поверхность сыпучего тела под действием силы тяжести может принимать различные коэфициент / можно определить непосредственно из опыта. если дать песку высыпаться из какого-либо отверстия (как в песочных часах) на горизонтальную плоскость, то образуется конус песка, образующие которого наклонены к горизонту под углом а0, причем эго объясняется просто тем, что все песчинки, образующие случайно углы большие а0 (вообще говоря) не смогут оставаться на поверхности, а будут скатываться вниз. так как этот угол а0 образуется сам собою при всяком рассыпании сыпучего тела, то его называют углом естественного откоса. вот несколько примеров углов естественного откоса: мы можем, следовательно, сказать, что угол естественного откоса а0 должна удерживаться стенкой. подпорная стенка должна быть рассчитана, во – перзых, на прочность самого материала стенки, затем на сопротивление сдвигу по направлению af и, наконец, на сопротивление опрокидыванию (момент сил вокруг ребра стенки е). при подобных расчетах можно также принять во внимание, что опрокидыванию сопротивляется не только момент веса самой стенки вскруг ребра е, но также и трение между внутренней поверхностью стенки ad и сыпучим телом. подробности этих расчетов можно найти в специальной технической литературе. образованием сыпучими телами естественных откосов объясняется целый ряд явлений, отличающих сыпучие тела от жидкостей даже и в том случае, если жидкость обладает большим внутренним трением. так, например, пусть на дне закрома (рис. 38), в котором насыпано зерно, имеется отверстие ау служащее для ссыпки зерна из закрома. достаточно установить под отверстием небольшую площадку /я/г, чтобы остановить высыпание зерна из закрома. сперва зерно будет высыпаться на площадку, образуя знакомства в усть катаве естественного откоса; но как только вершина этого конуса достигнет отверстия закрома, то дальнейшее высыпание зерна из закрома совершенно прекратится, независимо от высоты зерна в закроме. на этом примере мы ясно видим, что равновесие сыпучих тел существенно отличается от равновесия жидкости, даже и в том случае, рис. 38. зерно в за – шарнирами, которые рис. 39. равновесие звеньев расходиться, но оставляют им полную свободу поворачиваться вокруг точки соединения. в обыкновенных цепях шарниры образованы самими звеньями (кольцами), но иногда, как, например, в висячих мостах и стропилах, шарниры образованы особыми болтами, вложенными в отверстия двух соседних звеньев. Знакомства в усть катаве каждый такой шарнир (рис. 39) будут действовать следующие силы. во-первых, натяжения— тг и + тг а) соседних звеньев и, кроме того, некоторая нагрузка р. для равновесия шарнира подобные же уравнения мы можем написать для каждого шарнира цепи и, имея достаточное число уравнений, рассчитать реакции опор, где заделаны концы цепи, и усилия во всех звеньях, образующих цепь. однако мы не будем на этом останавливаться, а считаем более интересным и более важным перейти сейчас же к случаю гибкой, нерасгняжи – гибкую, нерастяжимую нить (например мягкую проволку) мы тоже можем рассматривать как цепь, состоящую из бесконечного числа элементарных звеньев, и для каждого такого звена написать уравнение равновесия, *) мы предполагаем, что идем вдоль цепи слева направо, и в том же аналогичное тому, которое мы написали выше. но так как звенья нити бесконечно малы, то и разность натяжений в двух соседних участках (рис. 40) нити тоже будут бесконечно мала. мы получим в этом кроме того, мы примем, что силы р, приложенные к нити, не сосредоточены в отдельных ее точ
ках, а распределены непрерывным образом по длине нити. если мы обозначим нагрузку единицы длины нити через р, то сила, приложенная к элементу нити ds, будет равна уравнения к частным случаям, полезно сделать одно преобразование общего характера. предположим, что силы, действующие на нить, имеют потенциал и что нагрузку р, которая для различных точек нити может быть различной величины и различного направления, можно представить в виде частной производной от некоторой (скалярной) функции u: величина u будет тоже своего рода потенциал сил, действующих на нить, но потенциал этот отнесен к единице длины нити. введя эту при выборе соотвествующего начала для счета потенциалов, мы можем итак, при равновесии нити натяжение ее в любой точке равно потенциалу сил, приложенных знакомства в усть катаве нити и отнесенных к единице длины нити. как пример применения этой теоремы, предположим, что к нити приложены силы, направление которых в каждой точке нити перпенди – 531 равновесие нити под действием собственного веса 67 кулярно к соответствующему элементу длины нити ds\ нить представляет, таким образом, эквипотенциальную линию попя сил, действующих на нить. в таком случае u= const и т= const: натяжение нити по всей ее 53. равновесие нити под действием собственного веса. мы получили если на нить действует только ее собственный вес, то нить будет висеть в вертикальной плоскости. возьмем в этой плоскости прямоугольную систему координат и направим ось ох горизонтально, а ось oy вертикально вверх (рис. 40). наше векторное уравнение распадается на два проекции натяжения нити т на оси координат мы можем представить так как внешние силы вертикальны (рх = 0; руг= — р), то первое из этих уравнений показывает, что горизонтальная проекция натяжения нити по всей длине одна и та же. для симметрии со вторым уравнением мы положили эту постоянную интеграции пропорциональной нагрузке /? , но самый коэфициент пропорциональности а мы оставляем пока неопределенным; он зависит от условий задачи: от длины нити, от во втором уравнении мы можем положить постоянную интеграции с равной нулю. это означает, что мы будем считать начало нити s==0 в той ее точке, где ту = 0, т. е. в той точке, где нить горизонтальна; очевидно, это будет нижайшая точка нити. итак, мы получили два натяжение т во всякой точке нити совпадает с направлением касательной к линии нити; поэтому мы получим величину тангенса угла наклонения этой касательной к горизонту, если разделим второе уравнение из этого уравнения мы уже можем получить некоторое понятие о форме, которую принимает линия нити под действием ее собственного веса. и на одновременно с рассмотренным треугольником движется и все твердое тело, т. е. все его материальные точки. отсюда следует, что и движение любой точки тела р мы тоже можем считать составленным из поступательного движения по направлению d$q и из поворота вокруг оси ou на угол da. если расстояние рассматриваемой точки тела р от точки о равно г, то полное перемещение точки р выразится суммой так как рассмотренное элементарное перемещение произошло в промежуток времени dt> то, разделив это уравнение на dt, получаем таким образом скорость любой точки р твердого тела мы мэжем выразить через поступательную скорость одной из его точек о и через вращательную скорость и вокруг оси проходящей через эту точку (ср. ч i, 4. угловая скорость вращения твердого тела. полученное нами во-первых, величина и направление поступательной скорость и остается для всех случаев одна и та же. осей, проходящих через эти точки, через иа и иь. тогда скорость какой – либо третьей точки тела я, отстоящей от точки а и в на расстояние гд и vby может быть выражена двумя способами: или исходя из точки л, но, о другой стороны, взяв точку а за исходную, мы можем для поступательной скорости второй точки в написать аналогичную формулу: где (га — гь) представляет расстояние точки в от точки а. если мы подстаним это выражение в предыдущую формулу и приравняем оба полученных нами выражения для скорости v , то получим: так как, вообще говоря, направление угловых скоростей непараллельно радиусам-векторам г (написанные нами векторные произведения не равны нулю), то это уравнение может быть удовлетворено всегда это означает, что какую бы точку твердого тела мы ни взяли за исходную, угловая скорость вращения тела вокруг оси, проведенной через эту точку, оказывается одна и та же и по величине и по направлению. это дает нам право величину и называть угловой скоростью вращения 5. мгновенная ось вращения тела. на основании полученной нами обще
й формулы для скорости движения любой точки р твердого тела мы можем определить в твердом теле такие точки, которые в рассматриваемый момент времени находится в знакомства в усть катаве. для этого достаточно положить это уравнение линейно относительно вектора г (расстояния искомой точки р от исходной точки о) и, следовательно, представляет собой прямую линию. действительно, если мы перепишем это уравнение в более обычной форме, т. е. в декартовых координатах с началом в точке о, причем проекции вектора г на оси координат обозначим через лс, уу г, этими тремя уравнениями вполне определяется прямая линия. так как все точки этой линии в рассматриваемый момент времени находятся в покое, то мы можем себе представлять знакомства в усть катаве твердого тела в виде чистого вращения вокруг этой оси. эта ось называется мгновенной осью вращения твердого тела; словом „мгновенная” желают указать, что рассматриваемая прямая линия служит осью вращения тела для рассматриваемого мгновения, — для некоторого момента времени t. с те» чением времени ось вращения может изменяться, перемещаясь как относительно неподвижного прострашпва, так и относительно материальных точек самого твердого тела. мы встретимся с такими случаями в главе v и vi. в. винтовое движение. можно зачаться целью найти такие точки р в авижущемся теле, скорости которых v были бы параллельны угловой о – трости и вращения тела в рассматриваемый момент времени. для подставляя сюда значение v , выраженное через скорость основной точки v0 и через расстояние искомых точек г от основной точки о, это векторное уравнение равносильно трем скалярным уравнением, содержащим проекции вектора г на оси координат (л:, у, z) и определяющим положение некоторой прямой линии в теле. если мы возьмем одну из точек этой линии за основную, то движение тела прехтавигся в виде поступательного движения вокруг оси вращения; такое движение простейшими примерами винтового движения могут служить: движение буравчика, винта или гайки, а также движение пропеллера аэроплана. во всех этих примерах ось вращения постоянна; но в более общих случаях ось эта может менять свое положение и относительно внешнего неподвижного пространства (пропеллер) и относительно самого ось винтового движения тела не нужно смешивать с мгновенной осью его. для того чтобы сделать это более наглядным, предположим, что угловая скорость и в рассматриваемый момент времени параллельна оси координат oz (выбор осей координат в нашей воле); тогда проекции яежду тем как проекция уравнения на ось oz даст тождество 0 = 0. третья координата z остается неопределенной» это знакомства в усть катаве, что нашему условию удовлетворяет целая линия, паралельчая оси oz, и следовательно, параллельная угловой скорости врах&^ния т ла. если мы подставим найденные значения х и у в общее уравнение для скорости любой эти уравнения служат только проверкой нашим вычислениям и показывают, что определенная нами линия (ось винтового движения тела) действительно обладает движением только параллельно угловой скорости вращения тела ur что же касается мгновенной оси вращения тела, то для нее необходимо еще, чтобы и v равнялась нулю сравнивая уравнения этого параграфа с уравнениями предыдущего параграфа, чи – та гель увидит различие между осью винтового движения и мгиовенной бывают, однако, случаи, когда и г>^ = 0, когда, например, тело знакомства в усть катаве перпендикулярно к своей оси вращения. такое движение уже нельзя называть винтовым в обычном смысле этого слова; однако с математической точки зрения его можно трактовать как особый случай винтового движения при поступательной скорости винта, равной нулю. 7 пример 1-й пусть диск (короткий цилиндр) вращается вокруг своей центральной оси с угловой скоростью и и в то же время имеет поступательную скорость v вдоль оси вращения. мы имеем здесь простой пример винтового движения тела, причем все точки диска описывают в пространстве винтовые линии. радиусы этих винтовых линий будут для различных материальных точек диска различны: они будут равны расстоянию рассматриваемой точки от оси диска. что же касается до хода винтовых траекторий, то он для всех точек будет одинаков. действительно, каждая точка диска совершает полный оборот (угол, а за это время диск подвинется вперед на расстояние эта величина называется ходом винта; а так как она оказывается независимой от положения точки на диске, то мы заключаем, что ход всех винтовых линий, описываемых различными материальными точками если векторы ни v о�
�инакового направления, то траектории точек диска будут представлять собою правые винты (рис. 4), если же векторы и и v направлены противоположно друг другу, то винты 8. пример 2-й. теперь представим себе, что тот же диск, вращаясь вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью и, перемещается по направлению, перпендикулярному к оси, с равномерною скоростью v. при таком движении различные точки диска, находящиеся на различных расстояниях от оси, будут описывать траектории различной формы. возьмем ось координат oz параллельно оси диска, которая будет, следова – тельно, проектироваться на плоскость ху в виде точки ог (рис. 6) и предположим, что скорость v направлена по оси -|~ ох, а скорость и направлена по оси – f-oz. для скоростей движения различных точек / такое предположение не ограничивает рис. 6. движение перпендикулярно общности задачи, потому что выбор к оси вращения, произвольно. итак, положив

Знакомства в казани ру

y) + b (x – j – bx) = be sin (ut) 88 iv. вращение твердого тела вокруг неподвижной оси вычтя из этих уравнений наши основные уравнения, мы получаем: как видим, величины 8л: и ьу будут совершать затухающие гармонические колебания (ср. ч. ii, стр. 102, 73). но это и означает, что рассмотренное знакомства в казани ру движение с постоянным углом ср обладает устойчивостью. 70. уравнения эйлера. переходя к изучению явлений вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, мы прежде всего преобразуем разложим вектор к, т. е. изменение вектора к со временем, на две части: на изменение по отношению к материальным точкам самого враща – ющегося тела, —это изменение мы обозначим через к’, и на изменение вектора к, которое обусловлено только вращением. это последнее изменение, как это мы уже неоднократно выясняли, равно [ик] (ср. ч. i, стр. 41, 42, ч. и, стр. 201, 132; ч. iii, стр. 93, 64) итак, представим себе во вращающемся теле систему декартовых координат oxyz, неизменно связанную с телом и, следовательно, вращающуюся вместе с ним. начало этих координат мы возьмем в неподвижной точке тела (вокруг которой тело вращается и через которую все время проходит ось вращения тела; при этом, однако, направление оси вращения может изменяться со временем), а сами оси направим по главным осям инерции тела относительно этой точки. обозначив проекции угловой скорости вращения и на эти (вращающиеся) координаты через /? , q, г, обычно принятые обозначения, мы можем написать для проекций момента так как величины л, в, с остаются по отношению к выбранным нами осям постоянными, то производные по времени момента импульса 90 v. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки таким образом уравнения моментов у нас напишутся в виде: эти уравнения были впервые получены эйлером (1760). обращаем внимание читателя на то обстоятельство, что в этих уравнениях все проекции векторов (включая и вектор момента сил м) отнесены к подвижным осям координат, неизменно связанным с знакомства в казани ру телом. 71« решение уравнений эйлера при отсутствии внешних моментов. если угловые скорости вращения тела и их изменения со временем известны, то по уравнениям эйлера мы легко можем определить моменты действующих сил, но обратная задача — по данным моментам определить движение тела — представляет значительные математические трудности и если на тело не действуют никакие внешние моменты, то уравнения и. могут быть решены в конечной форме эллиптическими функциями обозначим через /? 0, qqi г0 значения угловых скоростей в начальный момент времени ^ = 0 и выберем этот момент так, знакомства в казани ру q0 = 0; тогда угловые скорости в последующие моменты могут быть выражены в которых dn, sn, en суть символы эллиптических функций (они нам встречались при исследовании колебаний в ч. ii, стр. 163, 107, рис. 77), а постоянные о и е, а также и величина модуля к эллиптических функций заметим, что, для того чтобы эти величины были реальны, необходимо если распределение масс в теле обладает некоторой симметрией, причем моменты инерции в и с одинаковы, то и модуль делается равным нулю и эллиптические функции превращаются в круговые. подобные случаи мы разберем ниже, независимо от общей формы решения уравнений. 72. изменение направления оси при вращении по инерции. рассмотрим несколько подробнее случай вращения тела по инерции, но так как аналитическая фэрма решений уравнений эйлера (в виде эллиптических функций) не обладает достаточной наглядностью, знакомства в казани ру обратимся к самим т. е. момент импульса (по отношению к неподвижному пространству) остается неизменным. но момент импульса относительно осей, проведенных не остается постоянным, а потому и угловая скорость вращения и тоже должна изменяться. предположим, например, что в некоторый момент времени t проекция р0 угловой скорости на ось инерции ох была равна нулю, тогда как q0 и г0 не равны нулю; это означает, что тело в этот момент вращалось вокруг оси, лежащей в плоскости yz. тогда первое показывает нам, что тело начинает вращаться и вокруг оси ох. точно так же, если ось вращения в некоторый момент бремени находилась в плоскости zx или в плоскости xyt то уже в следующий за этим момент появляются вращения вокруг осей, перпендикулярных к этим плоскостям. таким образом, несмотря на то, что на тело не действуют никакие внешние силы и оно вращается, так сказать, по инерции, тем не менее она не сохраняет направления своей оси вращения постоянным; ось вращения движется в теле, проходя в различные моменты времени через различные материальные точки твердог
о тела. только точка о, через которую должна проходить ось вращения во все моменты времени, остается неизменной; отсюда заключаем, что ось вращения описывает в теле некоторую впрочем, в некоторых частных случаях направление оси вращения в теле может оставаться постоянным. так, например, если вращение по инерции происходит вокруг одной из трех главных осей инерции (следовательно. Знакомства в казани ру, 92 v вращение твердого тела вокруг неподвижной точки вокруг одной из выбранных нами осей координат), то направление оси тело вращается вокруг оси oz. тогда уравнения эйлера дают: другой частный случай мы имеем, когда тело обладает симметрией, и два момента инерции одинаковы, например, в=с; в таком случае впрочем, при в = с и направление главных осей инерции оуи oz делается неопределенным (в эллипсоиде вращения тоже направление двух еще ббльшую свободу мы имеем в случае, когда а = в = с; тогда вращение по инерции вокруг любой оси тела может оставаться неизменным. полезно сравнить полученные нами здесь результаты с теми, которые мы имели при вращении тела вокруг данной неподвижной оси (стр. 81, 66% стремление тела изменить направление оси вращения обнаруживается здесь 73. движение оси в теле. мы можем пойти несколько дальше и составить себе некоторое представление о том, как изменяется направление оси вращения тела при отсутствии моментов внешних сил. при вращении тела по инерции две величины остаются постоянными, а то проекции ее на оси координат (вращающиеся вместе с телом) р, qy г могут изменяться со временем, и в большинстве случаев, как это мы уже выяснили, они бу^рт изменяться, удовлетворяя, однако, вышенаписан – ным двум уравнениям. эти уравнения мы можем рассматривать как уравнения двух эллипсоидов с центрами в начале координат, радиусы – векторы которых имеют проекциями на оси кобрдинат: уравнения этих двух эллипсоидов можно написать в форме: причем для эллипсоида энергии мы получим полуоси: мы опять предположим, что оси координат у нас выбраны так, что в таком случае для эллипсоида энергии и для эллипсоида момента импульса мы получим соотношение между осями обратное: таким образом оба последние эллипсоида (в противоположность эллипсоиду инерции) будут вытянуты по направлению оси oz. нетрудно сообразить, что эллипсоид импульсов всегда более вытянут, чем эллипсоид энергии. действительно, из соотношений: величины р, q, г, которые должны удовлетворять уравнениям обоих эллипсоидов одновременно, определяются, очевидно, линией пер сечения обоих эллипсоидов; отсюда заключаем, что вектор угловой скорости . при изменении своего направления должен все время скользить по этой линии пересечения. каковы же будут эти линии? для выяснения этого предположим сначала, что эллипсоид энергии и эллипсоид момента импульсов касаются друг друга на оси ох, и следовательно, так как эллипсоид импульсов более вытянут, jo он будет весь находиться снаружи эллипсоида энергии, причем вращение тела будет происходить вокруг оси ох. теперь предположим, что телу сообщен небольшой толчок и его эллипсоид импульсов несколько изменился. так как ai не может сделаться больше ае, то это изменение может произойти только в том смысле, что эллипсоид импульсов сделается уже эллипсоида энергии и мы получим пересечение обоих эллипсоидов по некоторой линии знакомства в казани ру. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки следовательно, после небольшого толчка, при дальнейшем вращении тела ось вращения и будет описывать небольшой конус вокруг первоначальной оси вращения ох. такое движение вокруг оси ох нужно такой же результат мы получим, если предположим, что тело первоначально вращалось вокруг оси oz (ось наименьшего момента инерции). и оба рассматриваемые эллипсоида не только будут иметь общую точку касания на оси oy (рис. 57), но, кроме того, будут пересекаться друг с другом по кривым bb и bb. при небольшом (даже случайном) толчке взаимное касание эллипсоидов прекратится, и они будут пересекаться друг с другом по кривым, близким к линиям bbbb. но из рис. 57 мы видим, что эти новые кривые пересечения эллипсоидов (оставаясь близкими к старым кривым bb) будут огибать или ось ох или ось oz (смотря по направлению случайного толчка), но никоим образом не могут огибать оси первоначального вращения о к» так как по этим кривым должна будет двигаться после толчка ось вращения и, то она будет описывать конус большого отверстия вокруг оси ох или вокруг оси oz и при этом сильно и быстро отклоняться от оси о у. на этом точкам самого вращающегося тела. для того чтобы выяснить
, каково будет движение этой оси относительно внешнего неподвижного пространства, мы прибегнем к геометрическому толкованию этого явления, напомним читателю соотношение между кинетической энергией вращения тела и моментом импульса его (стр. 24, 19): как уравнение эллипсоида, радиус-вектор которого есть и, то a, [j, у будут представлять углы, образуемые нормалью к поверхности этого эллипсоида с осями координат ox, oy, oz\ нормаль эта проведена в той точке поверхности эллипсоида, через которую проходит в рассматриваемый момент вектор и. это, между прочим, непосредственно следует также из того обстоятельства, что соотношение между векторами кии представляет собой симметричный тензор^ а выражение энергии служит им тензорным эллипсоидом (ср. стр. 24, 19; ч. i, стр. 155, далее мы знаем, что величина 2г представляет собой скалярное произведение вектора угловой скорости и на вектор момента импульса к v. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки где р означает угол между векторами и и к.

Знакомства трансы питер

бывают Знакомства трансы питер, когда основные частоты а! и а” мнимы (система при 101. пример. для того чтобы вычисления предыдущих параграфов приобрели ббльшую наглядность, мы применим их к уже разобранному нами случаю волчка, находящегося под действием знакомства трансы питер тяжести (стр. 116, 88). момент сил тяжести равен (рис. 73): подставляем сюда значение 0 = &0 -|- v, где v — очень малая величина; в прежних наших вычислениях мы вторым членом пренебрегали. применяя обозначения предыдущих знакомства трансы питер, мы имеем: первая из этих формул показывает, что при отсутствии связи (т. е* при г = 0) частота колебаний оказывается мнимой; другими словами, волчок совсем не будет совершать колебаний, а будет падать. однако при быстром вращении он устойчив и будет совершать нутации с частота эта действительная, и волчок будет вращаться не падая, однако не нужно забывать, что все наши вычисления приближенные и основаны на предположении, что быстрота вращения волчка велика. поэтому определение минимальной быстроты г вращения волчка, при которой он уже перестает быть устойчивым, по этой формуле делать нельзя. для этой цели пришлось бы вернуться к точным формулам § 86; но мы дальнейшие вычисления величин ь9 v, ]i, ф производятся, как на стр. 102. волчок-маятник. теперь предположим, что волчок прикреплен к стержню и подвешен в виде маятника (рис. 74). пока волчок еще не приведен во вращение, такой маятник будет совершать колебания под влиянием силы тяжести, как всякий другой физический маятник. частота колебаний его при малых отклонениях определяется формулою (стр. где а означает момент инерции маятника вокруг оси качания. если же мы приведем волчок во вращение, то получим совсем иные явления. при не особенно быстром вращении волчка маятник еще будет совершать колебания, однако его плоскость колебания не останется неизменной, а будет поворачиваться (как маятник фуко: ч. ii, 213, 141). мы получим маятник с прецессией. если же вращение волчка очень быстрое, то маятник совсем не будет совершать своих обычных колебаний, а останется только одна псевдорегулярная прецессия с небольшими теоретически этот случай отличается от предыдущего только тем, что теперь угол ь0 (рис. 74) тупой, тогда как в обыкновенном стоячем волчке он острый (рис. 73). уравнения движения остаются те же: однако теперь благодаря тому, что угол ъ0 тупой, частота собственных колебаний (при отсутствии связи; cosft0Знакомства трансы питер), результирующая частота нутаций будет выражаться такой же однако, так как теперь cosd0Знакомства трансы питер мы получаем для результирующей частоты и для эти формулы те же, что и при отсутствии вращения (г=0), и не содержат в себе ничего принципиально неверного. между тем, если мы сделаем то же самое с формулой для прецессии, то получим: 103] стоячий волчок при малых отклонениях от вертикали 137 вообще во всех предыдущих вычислениях мы предполагали, что волчок вращается быстро, и это позволило нам знакомства трансы питер приближенные решения с достаточной точностью. теперь мы не будем предполагать, что волчок вращается быстро, зато предположим, что ось волчка только не значительно отклоняется от вертикали. при таких условиях тоже можно получить приближенные формулы решений, причем эти формулы будут применимы как к случаям быстрых, так и к случаям медленных прежде всего выясним вопрос о прецессии и обратимся для этого к уравнению момента импульса знакомства трансы питер вертикальной оси oz (стр. 108, так как момент силы тяжести не имеет составляющей по вертикали, то момент импульса k остается постоянным. предположим, что в начале движения (? =0) волчок стоял вертикально; тогда момент импульса и эта величина остается постоянной и в последующие моменты движения, даже если мы толкнем ось волчка, сообщив ему небольшую ско – рость ft. при таком толчке мы прибавляем некоторый момент импульса вокруг оси ок9 но момент импульса вокруг оси oz остается подставляем эту величину k в уравнение импульса и несколько до сих пор наши формулы вполне точны, но они не позволяют оп – ределить ф независимо от &; а величина & нам пока еще неизвестна. теперь воспользуемся тем, что величина отклонения ft мала, и положим: второй член, стоящий в скобках, настолько мал по сравнению с между тем как выше, при неверном расчете, мы получили величину вдвое большую. как видим, наше первое приближение сводится к тому, 138 vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки что мы отбрасываем небольшие изменения прецессии со временем и принимаем псевдорегулярную
прецессию за регулярную. чтобы проверить себя, мы можем определить производную прецессии по времени: откуда видим, что изменения прецессии со временем, действительно, но если с самого начала принять, что прецессия равномерна, то из положив в нем ф = 0, мы тоже получаем (cos & ==+^): эту величину ф мы пвдставляем в первое уравнение моментов: мь = mgs-sinb =»л» — лфз sin ь cos о-f – сгф sin а и, таким образом, получаем уравнение для нутаций (sin 0 = в; cos 0=1): это — известное диференциальное уравнение гармонических колебаний, и мы можем написать его решение в такой форме; эта формула верна при любых значениях скорости вращения волчка г, но при условии, что отклонения v0 незначительны. из этой формулы мы видим, что волчок может устойчиво вращаться вокруг вертикальной оси лишь до тех пор, пока его скорость вращения г удовлетворяет если вращение волчка замедлится еще более, то теоретически частота колебаний оси а делается мнимой; а практически это означает, что вертикально вращающийся волчок будет неустойчив и при малейшем 104. волчок-маятник при малых отклонениях. совершенно тот же прием мы можем применить и к тому случаю, когда точка опоры волчка помещена выше его центра тяжести, т. е. когда волчок подвешен, как маятник. в этом случае малые отклонения от вертикали будут означать, уравнение момента импульса вокруг вертикали напишется так: предположив, что в момент t = q маятник висел вертикально, мы и эта величина k при отсутствии моментов сил вокруг вертикали остается и to все последующие моменты движения неизменной. подставляя это опять, как и в предыдущем параграфе, пренебрегаем небольшими величина прецессии та же, как и для стоячего волчка, но она противоположного знака. этот результат мы тоже могли бы получить из вто – теперь введем угол а в первое уравнение моментов, приняв во я после подстановки значения ф даст нам диференциальное уравнение мы получили гармонические колебания волчка-маятника с частотой амплитуда v0 этих колебаний зависит от силы первоначального толчка. одновременно с этими колебаниями {нутациями) маятник будет совершать прецессию, величину которой мы определили выше. в следующем параграфе мы исследуем эти движения подробнее, а сейчас заметим только, что в рассматриваемом нами теперь случае частота а не может получить vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки мнимое значение (как это мы имели в предыдущем параграфе), и движение подвешенного волчка будет всегда устойчиво, что ясно само собой. 105. кривые, описываемые осью вертикального волчка. интересно рассмотреть подробнее те кривые, которые начинает описывать ось волчка обозначим расстояние рассматриваемой точки р оси волчка от точки опоры через / (ср. рис. 83 и 86, 107); тогда расстояние ее от вертикальной оси будет равно /siaft. если мы опустим из этой точки перпендикуляр на горизонтальную плоскость xy, проведенную через точку опоры, изменение x и у со временем и даст нам представление о движении оси волчка. подставляем сюда значения & и ф и получаем уравнение траектории точки в параметрической форме, причем параметром служит уравнения этих кривых можно написать и в такой форме: нетрудно видеть, что первые члены этих сумм составляют вместе дви – знак -|- мы знакомства трансы питер, чтобы показать, что вращение по кругу направлено в положительную сторону (как растут углы в тригонометрии); згу угловую скорость нужно представить себе отложенной по оси – f~ oz. вторые члены этих сумм составляют вместе тоже движение по кругу того же радиуса, но направленное в противоположную сторону; угловая таким образом полученные нами кривые можно образовать сложением двух взаимнопротивоположных круговых движений одинакового радиуса, но различных частот. этим замечанием можно воспользоваться 106. частный случай. интересно применить полученные формулы к тому случаю, когда момент силы тяжести равен нулю (случай свободного положив mgs = 0f мы получаем для частоты нутаций: ту же величину, что и для прецессии, и уравнения траектории получают нетрудно видеть, что эти формулы представляют собой уравнения круга, окружность которого проходит через начало координат и центр два гармонических колебания по осям ох и oy одинаковой амплитуды и одинакового периода, но с разностью фаз в 90° дают вместе vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки для стоячего волчка а положительно, и угловая скорость движения по кругу должна быгь отложена по оси -\-oz\ для висячего волчка та же угловая скорость а должна быть отложена по оси — oz. при этом является вопрос, что означает это различие в знаке а, когда в ра
ссматриваемом случае на волчок совсем не действует момент силы тяжести, и разница между стоячим и висячим волчком пропадает.

Знакомства с серьезными намерениями

рис. 84, ч. ii, стр. 185, 119). оба эти момента пропорциональны квадрату скорости движения поезда. действительно, если мы обозначим через ь радиус закругления, то угловая скорость поворота оси колес будет равна и = — , если путь имеет выбоину, и притом для обоих колес одинаковой величины, то ось колес, проходя такую выбоину, будет опускаться и подниматься, оставаясь параллельной своему начальному направлению; при этсш никакого реактивного момента получиться не может. но если производящий вилянье. поэтому при больших скоростях движения необходимо делать подъем наружного рельса по возможности постепенным. 112. вращающиеся механизмы на кораблях и аэропланах. строго говоря, каждый быстро вращающийся двигатель или механизм, находящийся на земле, должен оказывать реактивный момент, так как он принужден поворачиваться вместе с землей. однако угловая скорость вращения земли настолько мала, что эти реактивные моменты даже в быстро вращающихся двигателях (как, например, турбины лаваля) ничтожны; их можно обнаружить только чувствительными научными приборами (см. ниже: двигатели, установленные на кораблях, могут оказать значительные реактивные моменты и при качке корабля и при переменах курса. особенно ощутительно это явление на аэропланах, а потому полезно его разобрать подробнее. на рис. 101 схематически изображена ось аэроплана с пропел, ” лером яр. предположим, что пропеллер вращается по стрелке часой (вправо), если смотреть со стороны летчика и, следовательно, его момент импульса к направлен в сторону движения. при повороте направо, т. е. при вынужденном вращении оси пропеллера вокруг направления u, мы должны получить реактивный момент мг (рис. 101), наклоняющий перед аэроплана вниз. при знакомства с серьезными намерениями аэроплана налево знакомства с серьезными намерениями(рис. 102) получается момент, поднимающий перед аэроплана вверх. это явление хорошо знакомо летчикам, и они с ним считаются при управлении аэропланом. 113. катящийся обруч. примером применения теории волчка может служить катящийся по горизонтальной плоскости обруч (чел иногда забавляются дети); теория обруча, в свою очередь, поможет нам разобраться в некоторых явлениях, происходящих при езде на знакомства с серьезными намерениями. итак, мы будем считать большою по сравнению с угловыми скоростями ft и jj, а потому можем применить к этому случаю упрощенные уравнения в этих уравнениях с означает момент инерции обруча вокруг его оси вращения; мы можем положить эту величину равной массе обруча т, умноженной на квадрат радиуса а (приблизительно): дапее, в есть момент инерции обруча вокруг оси углов j{, т. е. вокруг диаметра обруча. для этой величины мы возьмем формулу, выведенную наконец, а есть знакомства с серьезными намерениями инерции вокруг оси углов ft, т. е. вокруг оси, проходящей через точку касания обруча с горизонтальной плоскостью и направленной вдоль пути качения. эта величина определяется по сперва предположим, что обруч катится без внешних влияний и только под действием силы тяжести; момент силы тяжести вокруг но если обруч будет двигаться по кривой радиуса r со скоростью v, то на него будет действовать центробежная сила т —, и момент этой силы, приложенной к центру обруча, вокруг знакомства с серьезными намерениями оси, проходящей через точку касания обруча, будет равен: оба эти момента нужно будет принять во внимание в первом уравне* нии движения, где встречается ускорение ft перед этим заметим, однако, что – поступательная скорость движения обруча v и его вращательная скорость г при чистом качении без скольжения (что мы и предполагаем) кроме того, при повороте обруча на кривой его плоскость будет поворачиваться вокруг вертикального диаметра с той же угловою скоро – стью jj, с которой поворачивается радиус кривизны пути, проведенный в точку касания; ведь плоскость колеса при качении всегда должна быть касательной к пути. это замечание позволяет нам написать соотношения: если мы примем все это во внимание и положим внешние моменты сил (кроме силы тяжести) равными нулю, то получим уравнения: интегрируем второе уравнение в предположении, что x —0 при 0 = 0 подобное уравнение нам уже встречалось неоднократно, и оно означает, что качение обруча представляет собой движение устойчивое при если это условие соблюдено, то обруч при небольших случайных отклонениях от вертикального положения будет совершать гармонические возьмем для примера обруч диаметром в один метр, а = 50 си и, подставив в нашу формулу ^=980—-, получаем услов
ие: итак, обруч будет катиться устойчиво, если мы ему сообщим поступательную скорость не менее 1, 2 метра в секунду. при меньшей скорости одновременно с гармоническими колебаниями угла 9 мы на основании второго уравнения должны ожидать гармонические колебания угла ]? . другими словами, обруч не только будет периодически отклоняться от вертикали то в ту, то в другую сторону, но в то же самое знакомства с серьезными намерениями будет поворачиваться (вилять) то вправо, то влево, и притом с тем же периодом, как и отклонение ft. пери<? дические отклонения представляют знакомства с серьезными намерениями
не что иное, как нутацию; но при большой быстроте движения (а следовательно и вращения) обруча эти нутации будут очень малы и часты, и будет казаться, что обруч движется по прямой и остается в вертикальной плоскости. мы имеем здесь нечто аналогичное псевдорегулярной заметим, что повороты обруча вправо и влево (вилянье) существенно неьбходимы для его устойчивого движения. Знакомства с серьезными намерениями бы мы лишили обруч возможности вилять, например тем, что пустили бы его по рельсу, то теоретически условие прямого рельса выразится тем, что знакомства с серьезными намерениями нужно будет положить ^=«0, а в таком случае первое уравнение даст нам: правам часть этого уравнения того же знака, что и левая, и уравнение решается не тригонометрическими, а показательными функциями ви ia e*kt это означает, что при небольшом, случайном отклонении от в ртикали, обруч будет продолжать отклоняться в туже сторону и скоро из вышенаписанных уравнений следует также, что обруч может катиться и в наклонном положении, но только не по прямой, а по окружности круга. обозначим знакомства с серьезными намерениями плоскости обруча через &0, а радиус знакомства с серьезными намерениями его пути через /? 0. положив в первом уравнении ft ==¦ 0, получаем к приведенным расчетам необходимо, однако, добавить, что в действительности устойчивость рассматриваемых движений нарушается под влиянием трения. сила трения при чистом качении знакомства с серьезными намерениями ничтожна, и ее мы можем не принимать здесь во внимание; но при поворотах обруча появляется сила трения скольжения в точке (или вернее в небольшой площадке) касания обруча с горизонтальной плоскостью, и эта сила до некоторой степени ограничивает свободу поворота колеса i (действует аналогично рельсу, упомянутому выше), отчего и устойчивость движения значительно уменьшается. если бы эта сила была пропорциональна д, то она производила бы только затухание колебаний ь и могла бы даже способствовать устойчивости обруча. но на самом деле эта сила совсем не зависит от величин & или % и действует пропорционально давлению обруча на горизонтальную плоскость (см. ч. ii, стр. 50, 35). если знакомства с серьезными намерениями мы захотели ввести эту силу трения в наши уравнения, то получили бы во втором уравнении еще постоянный член (ср. ч. ii, стр. 54, 38) и в результате постоянное увеличение у! ла отклонения ь все в одну и туже сторону. правда, при таком увеличении угла ь обруч будет сворачивать все сильнее и сильнее в сторону и уменьшать радиус кривизны своего пути; тем не менее его падение по направлению к центру кривизны неизбежно. это явление, т. е. качение обруча (или монеты) по спирали постепенно уменьшающегося радиуса кривизны нетрудно наблюдать в действительности. 114. управление велосипедом. движение велосипеда по горизонтальной плоскости вполне аналогично разобранному нами в предыдущем параграфе качению обруча. но между обоими явлениями существуют и различия, так как велосипед имеет свои конструктивные особенности, а главное— велосипедом можно управлять и таким образом преобразовывать его неустойчивое движение в устойчивое. мы не будем составлять уравнения движения велосипеда (читатель может их найти в литературе), а ограничимся общими замечаниями, достаточными для того, чтобы уяснить себе основные принципы, на которых основано управление прежде всего отметим отличия велосипеда от простого обруча: 1) у велосипеда два колеса, связанные рамой; 2) ось руля не вертикальна и не направлена в центр переднего колеса; 3) поворот всего велосипеда (его рамы) по кривому пути не равен повороту переднего колеса, а зависит еще от расстояния между колесами, 4) центр тяжести движущейся системы, включая сюда и самою велосипедиста, не совпадает с центром вращающейся части, а помещается гораздо выше и, кроме того, может тем не менее движение велосипеда имеет много общего с качением обруча: 1) устойчивость велосипеда увеличивается с увеличением скорости движения (что хорошо известно всем велосипедистам); 2) устойчивости способствует, во-первых, реактивный момент вращающихся колес и, во-вторых, момент центробежной силы; 3) оба указанные момента действуют в одну и ту же сторону, а именно: наружу закругления пути движения (в сторону противоположную той, где находится центр кривизны пути); 4) сумма этих двух моментов, как и в случае обруча, пропорци – ональна угловой скорости поворота ^, но коэфициент пропорциональности в дальнейшем мы будем говорить о действии только одного реактивного момент�
� вращающихся колес, а действие центробежной силы будем подразумевать; это упростит наши рассуждения и сделает знакомства с серьезными намерениями более итак, представим себе, что велосипед движется довольно быстро по прямому пути и что по каким-либо причинам его клонит знакомства с серьезными намерениями; угол д (рис. 103) увеличивается. из рис. 103 мы легко можем увидеть, что по – являющийся при этом реактивный момент вращающегося колеса [к&] будет направлен вниз, и, следовательно, велосипед будет поворачиваться направо; но при повороте направо появится новый реактивный момент [kjj] , который будет уменьшать знакомства с серьезными намерениями ь и, следовательно, восстанавливать велосипед в вертикальное положение. однако мы не будем дожидаться этого автоматического восстановления велосипеда, а сами повернем руль направо, чтобы усилить восстанавливающий момент, и притом настолько, что угол ь не только быстро уменьшится, но и перейдет через нуль так, что велосипед станет немного наклоняться налево. это нам необходимо для того, чтобы иметь возможность сейчас же повернуть руль налево и вывести велосипед снова на прямой путь. одновременно с этим уничтожится и левое отклонение плоскости колеса, которое мы произвели раньше усиленным поворотом руля направо. если мы во втором случае повернули руль влево слишком сильно, так что велосипед с левого отклонения опять перешел на правое, то мы можем исправить свою ошибку, повернув руль направо, но не так сильно. от искусства велосипедиста зависит более или менее быстрое, а иногда даже едва заметное восстановление велосипеда в вертикальное положение и на прямой путь. мы описали наиболее часто употребляемое управление велосипедом при помощи руля (действуя моментом сил мх, который входит у нас во второе уравнение); но возможно управление велосипедом, не трогая руля, а перемещая центр тяжести своего корпуса вправо или влево (де ^ствуя знакомства с серьезными намерениями сил м^, который входит у нас в первое уравнение). так как оба уравнения связаны друг с другом, то управление велосипедом изменением момента мд, вполне аналогично управлению моментом мх. предположим действительно, что при быстрой езде по прямому пути велосипед отклонился немного знакомства с серьезными намерениями. не довольствуясь автоматической регулировкой, ездок усиливает ее перемещением центра тяжести тоже вправо.

Знакомства люблю ру

рис. 74), результирующая частота нутаций будет выражаться такой же однако, так как теперь cosd0знакомства люблю ру. стоячий волчок при малых отклонениях от вертикали. если бы мы применили формулы предыдущего параграфа к случаю медленных вращений знакомства люблю ру, то, как мы уже сказали (знакомства люблю ру. 134, 101), мы получили бы неверные результаты. мы можем теперь убедиться в этом. положим, что знакомства люблю ру волчка г настолько медленно, что в формулах предыдущего параграфа мы можем членом (сг)2 пренебречь по сравнению с членом amgs cos &0. тогда мы получаем для результирующей частоты и для эти формулы те же, что и при отсутствии вращения (г=0), и не содержат в себе ничего принципиально неверного. между тем, если мы сделаем то же самое с формулой для прецессии, то получим: 103] стоячий волчок при малых отклонениях от вертикали 137 вообще во всех предыдущих вычислениях мы предполагали, что волчок вращается быстро, и это позволило нам получить приближенные решения с достаточной точностью. теперь мы не будем предполагать, что волчок вращается быстро, зато предположим, что ось волчка только не значительно отклоняется от вертикали. при таких условиях тоже можно получить приближенные формулы решений, причем эти формулы будут применимы как к случаям быстрых, так и знакомства люблю ру случаям медленных прежде всего выясним вопрос о прецессии и обратимся для этого к уравнению момента импульса вокруг вертикальной оси oz (стр. 108, так как момент силы тяжести не имеет составляющей по вертикали, то момент импульса k остается постоянным. предположим, что в начале движения (? =0) волчок стоял вертикально; тогда момент импульса и эта величина остается постоянной и в последующие моменты знакомства люблю ру, даже если мы толкнем ось волчка, сообщив ему небольшую ско – рость ft. при таком толчке мы прибавляем некоторый момент импульса вокруг оси ок9 но момент импульса вокруг оси oz остается подставляем эту величину k в уравнение импульса и несколько до сих пор наши формулы вполне точны, но они не позволяют оп – ределить ф независимо от &; а величина & нам пока еще знакомства люблю ру. теперь воспользуемся тем, что величина отклонения ft мала, и положим: второй член, стоящий в скобках, настолько мал по сравнению с между тем как выше, при неверном расчете, мы получили величину вдвое большую. как видим, наше первое приближение сводится к тому, 138 vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки что мы отбрасываем знакомства люблю ру изменения прецессии со временем и принимаем псевдорегулярную прецессию за регулярную. чтобы проверить себя, мы можем определить производную прецессии по времени: откуда видим, что изменения прецессии со временем, действительно, но если с самого начала принять, что прецессия равномерна, то из положив в нем ф = 0, мы тоже получаем (cos & ==+^): знакомства люблю ру величину ф мы пвдставляем в первое уравнение моментов: мь = mgs-sinb =»л» — лфз sin ь cos о-f – сгф sin а и, таким образом, получаем уравнение для нутаций (sin 0 = в; cos 0=1)знакомства люблю ру: это — известное диференциальное уравнение гармонических колебаний, и мы можем написать его решение в такой форме; эта формула верна при любых значениях скорости вращения волчка г, но при условии, что отклонения v0 незначительны. из этой формулы мы видим, что волчок может устойчиво вращаться вокруг вертикальной оси лишь до тех пор, пока его скорость вращения г удовлетворяет если вращение волчка замедлится еще более, то теоретически частота колебаний оси а делается мнимой; а практически это означает, что вертикально вращающийся волчок будет неустойчив и при малейшем 104. волчок-маятник при малых отклонениях. совершенно тот же прием мы можем применить и к тому случаю, когда точка опоры волчка помещена выше его центра тяжести, т. е. когда волчок подвешен, как маятник. в этом случае малые отклонения от вертикали будут означать, уравнение момента импульса вокруг вертикали напишется так: предположив, что в момент t = q маятник висел вертикально, мы и эта величина k при отсутствии моментов сил вокруг вертикали остается и to все последующие моменты движения неизменной. Знакомства люблю ру это опять, как и в предыдущем параграфе, пренебрегаем небольшими величина прецессии та же, как и для стоячего волчка, но она противоположного знака. этот результат мы тоже могли бы получить из вто – теперь введем угол а в первое уравнение моментов, приняв во я после подстановки значения ф даст нам диференциальное уравнение мы получили гармонически
е колебания волчка-маятника с частотой амплитуда v0 этих колебаний зависит от силы первоначального толчка. одновременно с этими колебаниями {нутациями) маятник будет совершать прецессию, величину которой мы определили выше. в следующем параграфе мы исследуем эти движения подробнее, а сейчас заметим только, что в рассматриваемом нами теперь случае частота а не может получить vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки мнимое значение (как это мы имели в предыдущем параграфе), и движение подвешенного волчка будет всегда устойчиво, что ясно само собой. 105. кривые, описываемые осью вертикального волчка. интересно рассмотреть подробнее те кривые, которые начинает описывать ось волчка обозначим расстояние рассматриваемой точки знакомства люблю ру оси волчка от точки опоры через / (ср. рис. 83 и знакомства люблю ру, 107); тогда расстояние ее от вертикальной оси будет равно /siaft. если мы опустим из этой точки перпендикуляр на горизонтальную плоскость xy, проведенную через точку опоры, изменение x и у со временем и даст нам представление о движении оси волчка. подставляем сюда значения & и ф и получаем уравнение траектории точки в параметрической форме, причем параметром служит уравнения этих кривых можно написать и в такой форме: нетрудно видеть, что первые члены этих сумм составляют вместе дви – знак -|- мы поставили, чтобы показать, что вращение по кругу направлено в положительную сторону (как растут углы в тригонометрии); згу угловую скорость нужно представить себе отложенной по оси – f~ oz. вторые члены этих сумм составляют вместе тоже движение по кругу того же радиуса, но направленное в противоположную сторону; угловая таким образом полученные нами кривые можно образовать сложением двух взаимнопротивоположных круговых движений одинакового радиуса, но различных частот. этим замечанием можно воспользоваться 106. частный случай. интересно применить полученные формулы к тому случаю, когда момент силы тяжести равен нулю (случай свободного положив mgs = 0f мы получаем для частоты нутаций: ту же величину, что и для прецессии, и уравнения траектории получают знакомства люблю ру видеть, что эти формулы представляют собой уравнения круга, окружность которого проходит через начало координат и центр два гармонических колебания по осям ох и oy одинаковой амплитуды и одинакового периода, но с разностью фаз в 90° дают вместе vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки для стоячего волчка а положительно, и угловая скорость движения по кругу должна быгь отложена по оси знакомства люблю ру для висячего волчка та же угловая скорость а должна быть отложена по оси — oz. при этом является вопрос, что знакомства люблю ру это различие в знаке а, когда в рассматриваемом случае на знакомства люблю ру совсем не действует момент силы тяжести, и разница между стоячим и висячим волчком пропадает. эго различие в знаке прецессии не зависит, конечно, знакомства люблю ру ориентировки направлена по оси – f~ oz\ если же мы повернем ось рис. 82. колебания сво – и ляжет тоже по направлению — oz. описываемого круга от начала о соответствует половине амплитуды нутаций (рис. 82): далее, из написанных формул нетрудно (взяв производные по времени) определить скорость рассматриваемой точки следовательно, в начале движения, при / = 0 мы имели толчок был направлен параллельно оси ох, и, следовательно, оси волчка был сообщен момент импульса вокруг оси oy величиной этот импульс сложился геометрически с первоначальным моментом импульса о, а потому угол отклонения результирующего импульса мы видим, таким образом, что результирующий момент импульса будет направлен знакомства люблю ру центр того круга, который описывает волчок после 107] другой способ решения задачи о колебаниях вертикального волчка 143 удара. вокруг этого центра ось волчка будет вращаться с угловою таким образом в рассматриваемом случае нутация и прецессия волчка, произведенные толчком, слились вместе в одну регулярную прецессию этот результат можно было предвидеть, потому что рассматриваемый нами теперь частный случай тождествен с тем, который рассматривали колебаниях вертикального волчка. мы считаем чрезвычайно полезным рассмотреть малые колебания вертикального (полученные формулы нетрудно применить потом и к стоячему горизонтально и ось oz вертикально вверх% пока еще совершать свои колебания, оставаясь все время в одной и той же вертикальной плоскости. возьмем какую-либо подвеса на расстоянии /; проекция этой точки на плоскость xy будет мы положили �
�десь sin а = а, имея в виду только небольшие отклонения маятника от вертикали. обозначение г представляет расстояние обозначим через а момент инерции маятника вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса, через s — расстояние центра тяжести маятника от точки подвеса, через т — его массу й через g— ускорение силы тяжести. тогда уравнение моментов даст нам (стр. 88, 60): второе уравнение (в линейных мерах} получается из первого (в угловых мерах) умножением на /, так как отклонения мы предполагаем небольшими. имея в виду, что во время вращения волчка, маятник уже не будет оставаться в одной и той же плоскости, мы составим проекции написанного уравнения на плоскости zx и yz\ получаем два vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в соответствии с знакомства люблю ру обстоятельством, что маятник имеет две степени свободы (ч. ii, стр. 152, рис. 70, 100). оба эти уравнения независимы друг от друга и показывают, что проекции маятника на плоскости zx и yz могут совершать гармонические колебания с одинаковыми теперь предположим, что волчок приведен во вращение, т. е. что ему сообщили некоторый момент импульса к = сг, направленный от точки знакомства люблю ру к концу маятника. в момент / = 0 этот вектор будет направлен по оси —oz, и мы сообщаем маятнику небольшой толчок в направлении, параллельном оси ох (в плоскости zx). при вращающемся волчке маятник уже не будет следовать этому толчку и не будет сохранять свою плоскость колебания неизменной, а будет отклоняться в сторону под действием реактивного момента вращающегося волчка, где u означает угловую скорость поворота оси волчка во время качаний маятника. если мы обозначим знакомства люблю ру угловой скорости отклонения маятника на оси ох и oy через ах и а , то величины проекций реак – тивного момента на те же оси будут сгах и cm . что же касается знака этих проекций, то их, правда, можно тоже определить из вы – шенаписанного векторного уравнения, но гораздо проще (и нагляднее) будет, если мы определим их, основываясь на правиле фуко (стр. 125, 94). по правилу фуко волчок всегда отклоняется в сторону оси рис. Знакомства люблю ру и 85.

Знакомства лав ру

ние соударяющихся тел началось в момент ti9 а кончилось 3) сделанное предположение о мгновенности удара влечет за собою другое предположение, а именно: знакомства лав ру координаты соударяющихся тел за время удара не успевают измениться заметным образом. обозначая какую – либо координату тела (линейную или угловую, или какую-либо обобщенную) через q9 мы можем наше допущение выразить формулой: 4) несмотря на сделанные нами предположения, что 3/ = 0 и что $? = 0, мы, тем не менее, должны принять, что импульсы р и скорости v тела при ударе изменяются; в этом и заключается явление удара. обозначим через ft силу, действующую во время удара. тогда на основании если разность (р2—рг) имеет вследствие удара конечное значение, а промежуток времени (/2 — ^), в течение которого действовала сила fn очень мал (а мы принимаем даже, что он ничтожно мал), то сила ft 5) итак, мы примем, что силы ft, производящие удар и мгновенное изменение импульса р, чрезвычайно велики по сравнению с другими силами, не производящими таких мгновенных изменений импульсов мы будем называть знакомства лав ру силы мгновенными. по сравнению с мгновенной силой удара мы знакомства лав ру, например, пренебречь обычной силой трения между телами, если удар не направлен нормально к поверхности соприкосновения тел. это подтверждается, например, известным опытом знакомства лав ру монетой, знакомства лав ру на стакан, покрытый картой. сообщив удар карте по направлению, касательному к плоскости карты, мы можем выбить карту из-под монеты, причем монета не будет приведена знакомства лав ру горизонтальное 6) из принятых нами допущений следует также, что потенциальная энергия тела за время удара не знакомства лав ру измениться заметным образом (потому что координаты и вообще положение тела не изменяются заметным образом). что же касается кинетической энергии, то она, вообще говоря, будет изменяться, потому что изменяются и импульсы р и скорости v тел. мы встретим ниже случаи, когда кинетическая энергия частью теряется. это нужно понимать в том смысле, что за время удара часть кинетической энергии превращается в другие виды энергии (в теплоту) и уже не проявляется в скоростях движения тел. 133. нормальное падение шара на плоскость. положим, что шар падает вертикально на горизонтальную плоскость с высоты hy в момент соприкосновения шара с плоскостью шар имел скорость при этом импульс шара был направлен вниз и имел величину кинетическая энергия шара в момент удара была равна во время удара между шаром и плоскостью действовали упругие силы, и мы можем весь процесс соударения рассматривать состоящим из в первую половину этого периода плоскость оказывала реакцию движению шара, вследствие чего скорость шара, его импульс и его кинетическая энергия быстро уменьшились до нуля. кинетическая энергия шара превратилась в потенциальную энергию упругих сил, возникших соприкосновения упругие силы стремятся восстановить нормальный упругости оттапкивают шар и плоскость друг от друга. при превращается в кинетическую энергию шара; шар отскакивает за время удара скорость шара знакомства лав ру на величину отношение кинетической энергии, получившейся после удара, к кинетической энергии до удара мы обозначим через №: величина k называется коэфициентом удара (или импульса), а величина k2 называется коэфиииентом восстановления энергии. коэфициент k может быть определен непосредственно из спыта. для этого достаточно заметить высоту, с которой шарик падает на горизонтальную плоскость, и высоту, до которой шарик опять поднимается после удара о плоскость. вот некоторые данные опытов, произведенных с если произвести опыт со свинцовым шариком, или вообще шариком из мягкого материала, то при соприкосновении с деревянной плоскостью шарик сплюснется и совсем не подскочит сбратно. в этом случае мы должны приписать коэфициенту k значение, равное нулю. приводя результаты опытов, мы указали также и высоту, с которой шар пада. 1 на плоскость, потому что знакомства лав ру отчасти влияет на коэфиииент 134. отражение шара от плоскости. если шар ударяется о плоскость, двигаясь под некоторым углом к ее нормали (рис 125) (бильярдный шар изменит свой знак и может изменить свою величину, если k не равно если мы обозначим через а и [j углы, образуемые направлением движения шара с нормалью к плоскости (рис. 125; до и после его удара как видим, известное правило, что угол падения равен углу отражения (а = р)» может быть применено только в том случае, если коэфи – 135. соударение вполне упруг�
�х шаров. теперь представим себе два шара массы тл и /и2, которые обладают скоростями vj и v2. если эти шары во время своего движения приблизятся друг к другу настолько, что расстояние между их центрами сделается равным сумме их радиусов, то произойдет удар. после удара скорости шарсв могут оказаться иными и по величине и по направлению; мы их обозначим через и, и и2. на рис. 126 изображены эти шары в момент соприкосновения, и мм означает плоскость, проведенную через точку соприкосновения шаров. опять мы предположим поверхности шаров совершенно гладкими и разложим каждую скорость м, и v2 на две составляющие: одну возьмем параллельно плоскости соприкосновения, а другую по нормали к плоскости. первые составляющие не изменятся *о время удара, тогда как нормальные после удара через vn , vn и wn, wn. тогда мы можем предполагаем шары вполне упругими): рис. 126. соударение шаров деля уравнение энергии на уравнение импульсов, имеем: это означает, что относительная скорость, нормальная к знакомства лав ру
соприкосновения мм, меняет свой знак (ср 133, 134). это уравнение вместе с уравнением импульсов позволяет определить wn и wnj т. е. нормальные составляющие скоростей после удара. мы этими формулами и решается вся задача, так как тангенциальные мы предла аем читателю повторить этот расчет, введя в него коэфи – циент удара k. мы заметим знакомства лав ру, что уравнение импульсов останется неизменным, а при делении уравнения ^нер! ии на уравнение импульсов в результате вместо вышеполученных уравнений для тг и w2 мы потеря энергии при соударении выразится формулой: шары продолжают знакомства лав ру, не расходясь друг от друга, с общей 136. частные случаи соударения вполне упругих шаров. полезно рассмотреть некоторые частные случаи соударения упругих шаров. мы ограничимся случаями, когда оба шара движутся по одной линии (т. е. будем рассматривать только нормальные составляющие скоростей). если один из шаров имеет сравнительно с другим шаром очень большую маску mv то, разделив числитель и знаменатель полученных нами если пренебречь членами, содержащими множитель малой замечая, что (v2—v2) представляет собой относительную нормальную скорость шаров, мы можем сказать, что в этом случае относительная (нормальная) скорость изменяет свой знак. если скорссгь более массивного шара была до соударения равна нулю, то она и после удара останется равной нулю, а для нормальной составляющей скорости знакомства лав ру
т. е. тот же результат, что и при ударе о неподвижную плоскость если массы обоих шаров одинаковы, то наши формулы (при т1 = т2) мы можем выразить этот результат словами, сказав, что шары при если один из двух одинаковых по массе шаров был в покое (vj — 0), а другой двигался прямо на него со скоростью vz% то после удара второй шар окажется в покое (т<у2 = 0), знакомства лав ру первый начнет двигаться со если первый шар находился в покое, а второй двигался не совсем по направлению к центру покоящегося шара, а только задел его боком, знакомства лав ру для определения движения знакомства лав ру после удара нужно рассмотреть отдельно нормальную составляющую скорости и тангенциальную ее составляющую. последняя составляющая не изменится, тогда как первая целиком передается покоящемуся шару. предоставляем читателю рассчитать предполагали, что поверхности шаров настолько гладки, направление. мы предположим, что тело до удара рис. 127. внецентренный центру тяжести с (рис 127) некоторый момент импульса для большей наглядности рассуждений мы пока предположим, что момент к имеет направление по оаной из главных осей инерции тела. в таком случае момент импульса твердого тела выразится через угловую скорость вращения тела и простой формулой (стр. 23, 17): и мы можем сейчас же определить угловую скорость, приобретенную если направление импульса знакомства лав ру перпендикулярно к плечу а, как это у нас изображено на рис 127, и мы обозначим радиус инерции тела через k, то можем выразить угловую скорость и, наступившую после до сих пор мы использовали для расчета только уравнение моментов одновременно с этим уравнение импульсов дает нам для скорое «и v? итак, если тело находилось в покое и ему был сообщен мгновенный импульс знакомства лав ру с моментом вокруг центра тяжести и этот момент им ульса имел направление, знакомства лав ру одной из главных осей инерции тела, то тело будет иметь после удара, во-первых, поступательную ckcpjctb величина и направление которой сове шенно такие же, как если бы удар был произведен по центру тяжести тела; но, кроме того, тело получит 138. общий случай внецентренного удара. мы предположили, что начальный момент им ульса был направлен по одной из главных осей инерции тела; в более общем случае вращательная скорое»ь после удара м жет быть определена из тензорного соотношения между моментом из этих трех уравнений по данным кх, кг кг определяются три применяя векторные обозначения, мы можем написать: геометрически же эю означает, что нужно провести плоскость, перпендикулярную данному направлению к и к tea ильную к эллипсоиду энергии, тогда радиус-вектор, провешнный в ‘очку касания, бу^ет представлять по величине и по направлению вектор угловой скорости и мы предполагали, что тело до удара находилось в покое. если же тело уже обладало поступательной скоростью v0 и вращательной скоростью и0, то приобрет иные при ударе скорости v и и сложатся (геометрически) с первоначальными, и тело будет после удара двигаться подобный случай мы рассматривали в 84, ср. 110 (уда > по оси 139. мгновенная ось при внецентренном ударе. мы вернемся опять к тому частному случаю, который мы рассматривали в знакомства лав ру, а именно, когда момент импульса параллелен одной из главных осей инерции тела, и определим положение мгновенной оси вращения тела тотчас после знакомства лав ру. эта ось будет, очевидно, параллельна моменту импульса к и угловой скорости и. что же касае!

Знакомства ханты

предлагаем читателю самому убедиться в этом и выяснить, почему это так. при четырех опорах задача всегда будет знакомства ханты, как бы ни были расположены эти опоры; это ясно уже из того, что положение твердого тела вполне определяется аналогичную неопределенность мы получим при расчете фермы, в которой вставлены добавочные стержни; например, если на знакомства ханты. 29 прибавить все эти и им подобные случаи называются статически неопределимыми. слово статически здесь указывает на законы равновесия (статику) абсолютно твердого тела. для упругого тела прибавляются новые уравнения, и определение неизвестных сил делается вполне возможным, 48. устойчивость тяжелого твердого тела. мы видели (стр. 45, 38), что твердое тело, помещенное в поле тяготения, испытывает не только некоторую силу, стремящуюся сообщить ему поступательное движение, но также и момент сил, стремящийся повернуть тело. поэтому, если мы желаем закрепить тело в неподвижном состоянии, то должны и реакции устроить так, чтобы они образовали силы и моменты сил, равные и нам достаточно здесь рассмотреть действие поля на твердые тела небольших размеров и предполагать поле тяготения однородным; знакомства ханты
моменты сил пропадают и на тело действует только равнодействующая поля, приложенная к его центру инерции (который совпадает с центром сил тяжести). а в таком случае к твердому телу вполне применимы те правила, к которым мы пришли, изучая равновесие материальной точки (ч. ii стр. 219, 144), и мы можем здесь их не повторяв. остановимся только на следующем примере. круговой цилиндр знакомства ханты(или диск) положен на горизонтальную плоскость. Знакомства ханты центр тяжести цилиндра приходится на его оси знакомства ханты(это будет иметь место в тех случаях, когда если же центр тяжести цилиндра приходится вне его оси, тогда, вообще говоря, сила тяжести будет образовывать некоторый момент вокруг линии касания цилиндра на плоскости и цилиндр не будет в равновесии. только в тех случаях когда центр тяжести будет находиться вертикально над линией касания, момент сил будет равен нулю и цилиндр будет в равновесии. однако тут могут быть два разных случая. если центр тяжести помещается выше оси (рис. 32), то при качении он будет понижаться, потенциальная энергия будет уменьшаться; это положение будет неустойчивым и цилиндр, выведенный из положения равновесия, покатится дальше. напротив того, если центр тяжести будет находиться ниже оси (рис. 33) цилиндра, то при качении в ту или другую сторону он будет повышаться, потенциальная энергия будет увеличиваться. отсюда заключаем, что потенциальная энергия находилась в минимуме и равновесие было устойчивым. цилиндр, выведенный из положения равновесия, будет стремиться возвратиться знакомства ханты нему, а предоставленный самому себе, он будет качаться около положения устойчивого равновесия, пока силы трения приведенный пример, несмотря на свою простоту, служит прекрасной иллюстрацией к общим принципам, изложенным нами в ч. ii, стр. 219, 144. кроме того, мы имеем здесь пример, когда центр тяжести находится 49. степень устойчивости. в технике принято характеризовать степень устойчивости твердого тела величиной той знакомства ханты, которую нужно затра – тить, чгобы перевести тело из рассматриваемого устойчивого знакомства ханты
определим степень устойчивости однородной прямоугольной призмы со сторонами а, ь9 с (рис. 34). центр тяжести этой призмы, очевидно, находится на середине ее высоты а. поставленная на горизонтальную плоскость эта призма будет в устойчивом положении. но если мы наклоним призму, повернув ее вокруг одного из ее ребер, например с, то на этом ребре она будет в неустойчивом положении. при этом центр тяжести будет находиться над ребром на высоте, определяемой уравнением: если мы обозначим вес призмы через q, то работа, затраченная на поднятие центра тяжести призмы с высоты — на высоту а2, будет знакомства ханты: эта величина и будет характеризовать степень устойчивости призмы на нетрудно сообразить, что ближайшего неустойчивого положения мы достигнем, если будем наклонять призму вокруг более длинного ребра а; это видно также и из нашей формулы для степени неустойчивости. для равносторонней призмы, т> е. для однородного куба, мы для цилиндра, лежащего на горизонтальной плоскости (рис. 33), при весе знакомства ханты q и при расстоянии центра тяжести от оси равной а мы 50. влияние трения. во всех предыдущих примерах мы предполагали реакции опор перпендикулярными к плоскости опор, т. знакомства ханты. предполагали, что опоры совершенно гладкие знакомства ханты без трения. обычно одна из опор моста устраивается на катках для того, чтобы мост мог свободно изменять свою длину под влиянием температуры; при таком устройстве трение ничтожно по знакомства ханты с реакцией. если же опоры обладают трением, то их реакция уже не будет нормальна к плоскости соприкосновения, и самый простой случай мы имеем, когда тело лежит на наклонной плоскости (рис. 35). разложим вес тела q на две составляющие, одну возьмем нормально к плоскости, а другую параллельно плоскости: вторая составляющая будет стремиться сдвинуть тело вниз по плоскости, знакомства ханты то время как первая составляющая будет прижимать тело к плоскости; вследствие этого возникнет сила трения, пропорциональная этому давлению: зависит от веса тела, а зависит от угла наклона плоскости а и от величины коэфициента трения / тела о плоскость. Знакомства ханты мы постепенно будем увеличивать уклон плоскости до тех пор, пока тело не начнет таким способом можно определить коэфициент трения / опытным путем. Знакомства ханты надо иметь в виду, что трение скольжения в начале движения всегда несколько больше чем во время движения, а потому указан – ный способ определения коэфициента/не может дать точных результатов, 51. равновесие сыпучего тела. если мы рассмотрим ближе кучку песка, знакомства ханты она нам представится в виде груды песчинок разнообразной формы, лежащих друг на друге в самых разнообразных положениях, подобно груде знакомства ханты; отдельные песчинки удерживаются в равновесии частью выступами ниже лежащих песчинок, частью силою трения между песчинками. таким образом поверхность песка образует выступы и впадины весьма неправильной формы, зависящей от случайного расположения песчинок. однако, если нас интересует не знакомства ханты отдельных песчинок, знакомства ханты общая форма, которую принимает сыпучее тело при равновесии, то мы можем заменить действительную неровную поверхность сыпучего тела некоторой средней поверхностью и объяснить наклон этой средней поверхности к горизонту трением песчинок об эту поверхность. чем меньше размеры песчинок, тем ближе будет наше предположение к действительности. такой прием, — замена действительного неоднородного тела некоторым воображаемым однородным телом, — знакомства ханты применяется в теоретической физике для того, чтобы сделать наблюдаемые явления доступными расчету. например, в механике мы принимаем твердые, жидкие и газообразные тела за сплошные^ а между тем мы знаем, что они состояпг итак, мы будем принимать сыпучие тела, каковы сухой песок, сухая земля, различного рода зерно, насыпанное в мешках или закромах, тоже за сплошные тела, отдельные материальные точки которых (в отличие от твердых тел) могут передвигаться друг относительно друга, причем соприкасающиеся частички действуют друг на друга с силой трения, законы которого те же, что и для твердых тел (знакомства ханты. ч. ii стр. 50, 35). приняв это, нам нетрудно написать условие, знакомства ханты должно быть соблюдено для того, чтобы какая-либо частица песка (песчинка) т (рис. 36) могла лежать на поверхности ав сыпучего тела. применяя результаты предыдущего параграфа, мы можем написать это условие рис. 36. ес
тественный откос, неоднородности и шероховатости сыпучего тела. любой песчинки (любой материальной точки), лежащей на поверхности песка, то оно применимо игк самой поверхности.