Знакомство г мариуполь

, и т. д. таким образом вследствие постоянного взаимодействия отклонений v и ji верхний конец оси волчка будет описывать в пространстве циклоидальную кривую (рис. 78) и, таким образом, постепенно прецесси – *о малы, что остаются незаметными, но результирующая значительно упростить расчеты. конечно, эти расчеты рис. 78. Знакомство г мариуполь будут представлять только первое приближение, ная прецессия. но это приближение будет тем точнее, чем предположим, действительно, что величина момента импульса волчка остается неизменной. не нужно забывать, что угловая скорость враще* первый член этой формулы представляет собственное вращение волчка вокруг его оси, тогда как второй член представляет проекцию прецессии поэтому, если даже собственное вращение волчка поддерживается каким-либо образом (двигателем) постоянным, тем не менее всякое появ – ление или изменение величины прецессии ф и всякое изменение угла о уже влекут за собой и изменение величины г. но, как уже сказано выше, мы будем знакомство г мариуполь, что все эти возможные изменения нич – тожно малы по сравнению с быстротою <р собственного вращения вблчка, и будем считать величину г неизменной при всяких условиях. но если величина момента импульса к неизменна, а может изменяться только направление этого вектора, то уравнение моментов принимает здесь u означает угловую скорость поворота вектора к. применяя эту формулу к волчку, подверженному моменту силы тяжести, мы должны принужденная прецессия и реактивный момент волчка в согласии с тем, что мы нашли раньше (стр. 118, 88). нутации не появились благодаря нашему упрощенному предположению. так как по самому знакомство г мариуполь векторного произведения вектор м пер – пендикулярен к векторам u и к, то и прецессия знакомство г мариуполь должна происходить вращающееся тело каким-либо способом принуждается момент сил м, стремящийся увеличить угол 9, служит причиной эту формулу мы можем толковать как равновесие двух моментов знакомство г мариуполь: внешнего момента сил м и реактивного момента — [uk]. внешний момент сил м стремится увеличить угол &, следояательно, внутренний реактивный момент стремится уменьшить этот угол в; в знакомство г мариуполь угол & остается неизменным. как только мы устраним дейс! вие внешнего мо – мента, но оставим неизменной прецессию ф, то угол & сейчас же начнет уменьшаться. это рассуждение представляет собой не что иное, как одно из применений третьего закона механики ньютона; действие равно и противоположно противодействию (ср. мг знакомство г мариуполь м$ на рис. 79). фуко выразил полученный нами результат следующим правилом: волчок, который принуждается к равномерной прецессии, стремится наклонить свою ось так, чтобы его собственное вращение стало параллельным принужденному вращению (т. е. чтобы уменьшить угол 9). обращаем внимание на то знакомство г мариуполь, что аналогичное правило мы имеем для магнитной стрелки1 стрелка стремится стать своим магнитным полем вдоль линий сил внешнего поля. магнитное поле аналогично угловой скорости принужденной прецессии, а магнитный момент 126 vi. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки стрелки аналогичен моменту импульса волчка. формулы моментов для волчка и для магнитной стрелки одинаковы (см. общий курс очень часто в уравнениях движения волчка принужденную прецессию заменяют эквивалентным знакомство г мариуполь моментом сил. из вышеизложенного непо – средств^но следует, что принужденная прецессия u эквивалентна эта формула нам пригодится при различных применениях 1еориь 95. введение координаты у. при многих исследованиях движения волчка, а знакомство г мариуполь при исследовании малых нутаций, бывает, удобно на место угловой скорости ф ввести в уравнения угловую скорость (как мы эта величина i знакомство г мариуполь простое геометрическое значение: она представляет собой проекцию угловой скорости ф на знакомство г мариуполь ol (ср. стр. 106, при введении этой величины в наши уравнения нам встретится и пользуясь этими соотношениями, мы можом переписать первое урав второе уравнение мы тоже преобразуем таким образом: мы разложим момент /иф на два составляющих момента вокруг осей ol и oz (ср. во всех случаях, которые мы будем разбирать ниже, момент сил вокруг оси симметрии волчка oz будет у нас равным нулю, и мы можем но если мзнакомство г мариуполь, причем за оси координат мы принимали главные оси инерции тела. эти оси участвуют во всех движениях тела, поэтому вектор и представлял собой угловую скорость вращения самого тела. теперь мы выберем оси координат on, ol и oz (рис. 70; ср. рис. 71 стр. 106). эти оси тоже не остаются в покое относительно внешнего неподвижного пространства; но они и не следуют за всеми движениями тела. это видно уже на примере свободного волчка (стр. 109, 82), где оси on и ol участвуют в регулярной прецессии, но не вращаются вокруг оси симметрии волчка поэтому теперь вектор и уже не будет представлять собой угловую скорость вращения тела, а угловую скорость вращения выбранные нами координаты участвуют в нутации и в прецессии; первое из этих движений имеет угловую скорость 0 вокруг оси on, а второе имеет угловую скорость ф вокруг вертикальной оси oz0 поэтому для углоьых скоростей вокруг осей on, ol> oz мы имеем выражения: если мы обозначим знакомство г мариуполь инерции тела вокруг этих осей то можем для проекций момента импульса на эти оси написать: составляем выражения для проекций векторного произведения, входящего в основное уравнение моментов, на оси on и ol: эти уравнения несколько общее, чем уравнения предыдущего пара* графа, потому, что теперь моменты инерции а и в тела могут быть и неодинаковы. кроме того, эш уравнения более симметричны, чем мы можем для проверки результатов перейти обратно к эйлеровым эти уравнения при a = b совпадают с теми, которые мы получили 97. малые нутации быстро вращающегося волчка. впрочем, и эти уравнения могут быть решены точно только в простейших случаях, и то при помощи эллиптических интегралов, а потому нам приходится довольствоваться приближенными решениями. случай волчка, подверженного моменту силы тяжести, мы уже решали приближенным способом, предположив, что вращения волчка очень быстры. но в следующей главе мы встретимся с несколько более общей задачей, имеющей важное техническое применение (волчок-компас), а потому нам полезно будет уже теперь приготовиться к ней, и притом в форме насколько возможно обозначим через ft0, х0, ф0 значения входящих в наши уравнения величин, соответствующие стационарным движениям, т. е. регулярной прецессии. через v и pi мы обозначим небольшие отклонения от знакомство г мариуполь члены этих сумм во всяком случае постоянны и не меняются знакомство г мариуполь же члены суть величины настолько малые, что мы можем с g ^° + v sin знакомство г мариуполь»0 sin v -|- cos d0 sin v c g ° ^ sin«tt0 ‘ соответственно с этим мы представим и моменты сия мь и мг в виде в которых первые члены соответствуют стационарному движению и, следовательно, независимы от v и |л, тогда как зависимость вторых членов настолько мала, что нам достаточно положить их пропорциональными соответствующим отклонениям. если мы теперь подставим все эти величины в уравнения моментов, то величины, соответствующие стационар – 130 vil вращение твердого тела вокруг неподвижной точки ному движению, взаимно уравновесятся, и у нас останутся только члены, зависящие от v и jjl и их производных по времени. мы не будем выписывать этих членов, но нетрудно видеть, что при подстановке у нас по – лучатся члены с произведениями x0v, xjxq, jiv, x0v, которые мь! можем от – кинуть по их малости в сравнении с членами сп и од. оставляя только члены с первыми степенями переменных, мы получим линейные уравнения; написанные нами уравнения напоминают уравнения связанных колебаний (ч. ii, стр.

Знакомство детей с часами

предварительный пружины направленная от середины оси d к знак минус мы поставили потому, что сила эта направлена противоположно вектору f; введенный нами коэфициент пропорциональности будет зависеть от материала оси, от ее поперечного сечения и от если скорость вращения турбины знакомство детей с часами, то между этими двумя силами наступает равновесие, и мы можем написать: откуда определяется расстояние центра тяжести ст течки о: эта величина представляет собою не что иное, как часготу колебания упругой оси с насаженной на ней турбиной в то время, когда она еще не приведена во вращение (ср. ч. ii, стр. 99, 71, рис. 34). при таком обозначении мы получим для стрелы прогиба оси формулу: эта формула показывает нам, что пока турбина еще не вращается (и—о), прогиб/ равен нулю (как это и должно быть), но затем с увеличением угловой скорости вращения и прогиб сильно увеличивается (очевидно, вследствие появления центробежной силы). при и = а прогиб даже делается бесконечно большим, т. е. ось турбины должна сломаться. 68] упругая ось (более подробное исследование) 85 однако если бы нам удалось перейти через эту критическую скорость, то знакомство детей с часами дальнейшем увеличении быстроты вращения (и^> а) стрела прогиба будет уменьшаться. но это и означает, что при очень больших скоростях турбина будет работать спокойнее, как это и заметил лаваль. 68. упругая ось (более подробное исследование). однако при таком толковании явления лаваля некоторые пункты остаются неясными, прежде всего является вопрос: каким образом можно перейти через критическую скорость вращения без поломки оси турбины? ответом на этот вопрос служит нам общая теория резонанса (ч. и, стр. 110, 78, 79). теория всегда дает бесконечно большие амплитуды колебаний, при совершенном отсутствии трения. но в действительности трение или какая – либо другая причина, поглощающая энергию колебаний, неизбежны, и амплитуда колебаний не будет увеличиваться так сильно. кроме того, даже эти большие амплитуды резонанса не } станавливаются моментально, а требуют некоторого времени для раскачивания (ср. ч. ii, стр. 113, 79). и действительно практика показывает, что быстрый переход через сконструировать особые приспособления, предупреждающие делается меньше / (рис. 53), т. е. центр тяже – рис, 53. предварительный сти турбины с располагается блисже к линии расчет упругой оси вра – оси о, чем середина согнутой оси d. но если щения. указанных точек образуется момент сил fe и fe, который тотчас же переведет центр тяжести снова наружу. другими словами, положение центра такой знакомство детей с часами результат получился у нас отчасти потому, что мы с самого начала приняли, что векторы ос и od имеют одинаковое направление, но главным образом потому, что мы имеем здесь случаи динамического равновесия (равновесие движения) и вопрос об устойчивости принимает несколько иную форму. для большей ясности мы произведем наш расчет еще раз, откинув предноложение, что точки о, d, с расположены ни одной прямой, и введя в уравнения движения проведем оси декартовых координат ох и окс началом в точке о несогнутой оси (рис. 54) и пусть векторы г и в образуют с осью ох углы аир. когда центр тяжести с будет равномерно вращаться вокруг оси турбины с угловою скоростью и, то угол fi будет равномерно расти, iv. вращение твердого тела вокруг неподвижной оси на турбину действуют следующие силы: во-первых, центробежная сила nir, приложенная к центру тяжести; затем сила трения, которую мьь положим пропорциональной расстоянию г центра тяжести от начала. не желая входить в детали конструкции турбины, мы можем оставить коэфи – рис. 54. явление резонанса центру тяжес™ турбины и получаем: проектируя это уравнение на оси координат, мы можем заменить подобные уравнения нам уже встречались в теории вынужденных колебаний, и кы можем прямо написать их решения в следующей форме x = rcosa=rcos(h/ — <р); y = r sin a = г sin (ut—<р); из этих формул мы можем вывести целый ряд следствий, которые 1) при вращении турбины на оси adb центр тяжести с должен описывать круги рациуса е вокруг точки d оси. однако сама точка д в свою очередь, описывает круги радиуса / вокруг начала о, потому что стрела прогиба остается при равномерной скорости вращения и постоянней. наконец, и центр тяжести с тоже описывает kpyin постоянного радиуса вокруг точки о, потому что и величина г при постоянной 2) наши уравнения, как мы уже указали, имеют вид уравнений вынужденных колебаний точки, и угол <р на самом деле представляет величину угла, образуемого векторами виг, как это видно из самого рис. 54 и из 3) итак, величины <р, г, / остаются при равномерном вращении турбины постоянными, но для различных скоростей вращения и они будут, вообще говоря, различными. при скоростях и, меньших критической скорости а (ниже резонанса), угол 55. явление резонанса образующие, как мы теперь видим, всегда не – в упругой оси вращения, турбины, не переводят центр тяжести с за точку d, подальше от центра ответ на этот вопрос мы имеем в наших уравнениях движения, где центробежная сила представлена членами тх и ту, и эта сила уравновешивается не только силой упругости, но также и силой трения fr. все эти силы вместе образуют замкнутый векторный четырехугольник (ср. ч. п, стр. 109, рис. 39 и стр. по, рис. 40; 77) и, следовательно, мы можем исследовать устойчивость рассматриваемого движения другим способом (см. ч. ii, стр. 305, 209 ).

Знакомства в твери

ось турбины должна сломаться. 68] упругая ось (более подробное исследование) 85 однако если бы нам удалось перейти через эту критическую скорость, то при дальнейшем увеличении быстроты вращения (и^> а) стрела прогиба будет уменьшаться. Знакомства в твери это и означает, что при очень больших скоростях турбина будет работать спокойнее, как это и заметил лаваль. 68. упругая ось (более подробное исследование). однако при таком толковании явления лаваля некоторые пункты остаются неясными, прежде всего является вопрос: каким образом можно перейти через критическую скорость вращения без поломки оси турбины? ответом на этот вопрос служит нам общая теория резонанса (ч. знакомства в твери, стр. 110, 78, 79). теория всегда дает бесконечно большие амплитуды колебаний, при совершенном отсутствии трения. но в действительности трение или какая – либо другая причина, поглощающая энергию колебаний, неизбежны, и амплитуда колебаний не будет увеличиваться так сильно. кроме того, даже эти большие амплитуды резонанса не } станавливаются моментально, а требуют некоторого времени для раскачивания (ср. ч. ii, стр. 113, 79). и действительно практика показывает, что быстрый переход через сконструировать особые приспособления, предупреждающие делается меньше / (рис. 53), т. е. центр тяже – рис, 53. предварительный сти турбины с располагается блисже к линии расчет упругой оси вра – оси о, чем середина согнутой оси d. но если щения. указанных точек образуется момент сил fe и fe, который тотчас же знакомства в твери центр тяжести снова наружу. другими словами, положение центра такой парадоксальный результат получился у нас отчасти потому, что мы с самого начала приняли, что векторы ос и od имеют одинаковое направление, но главным образом потому, что мы имеем здесь случаи динамического равновесия (равновесие движения) и вопрос об устойчивости знакомства в твери несколько иную форму. для большей ясности мы произведем наш расчет еще раз, откинув предноложение, что точки о, d, с расположены ни одной прямой, и введя в уравнения движения проведем оси декартовых координат ох и окс началом в точке о несогнутой оси (рис. 54) и пусть векторы г и в образуют с осью ох углы аир. когда центр тяжести с будет равномерно вращаться вокруг оси турбины с угловою скоростью и, то угол fi будет равномерно расти, iv. вращение твердого тела вокруг неподвижной оси на турбину действуют следующие силы: во-первых, центробежная сила nir, приложенная к центру тяжести; затем сила трения, которую мьь положим пропорциональной расстоянию г центра тяжести от начала. не желая входить в детали конструкции турбины, мы можем оставить коэфи – рис. 54. явление резонанса центру тяжес™ турбины знакомства в твери получаем: проектируя это уравнение на оси координат, мы можем заменить подобные уравнения нам уже встречались в теории вынужденных колебаний, и кы можем прямо написать их решения в следующей форме x = rcosa=rcos(h/ — <р); y = r sin a = г sin (ut—<р); из этих формул мы можем вывести целый ряд знакомства в твери, которые 1) при вращении турбины на оси adb центр тяжести с знакомства в твери описывать круги рациуса е вокруг точки d оси. однако сама точка д в свою очередь, описывает круги радиуса / вокруг начала о, потому что стрела прогиба остается при равномерной скорости вращения и постоянней. наконец, и центр тяжести с тоже описывает kpyin постоянного радиуса вокруг точки о, потому что и величина г при постоянной 2) наши уравнения, как мы уже указали, имеют вид знакомства в твери
вынужденных колебаний точки, и угол <р играет в них роль разности фаз между колебаниями действующей силы (правые части уравнений) и знакомства в твери точек (х и у). но в действительности мы имеем не колебания, а вращения вокруг оси о; а наши уравнения представляют собой один из примеров разложения равномернэ-вращательного движения на два взаимно перпендикулярных гармонических колебания (ср. ч. и. стр. 136, рис. 59, 91). поэтому <р на самом деле представляет величину угла, образуемого векторами виг, как это видно из самого рис. 54 и из 3) итак, величины <р, г, / остаются при равномерном вращении турбины постоянными, но для различных скоростей вращения и они будут, вообще говоря, различными. при скоростях и, меньших критической скорости а (ниже резонанса), угол 55. явление резонанса образующие, как мы теперь видим, всегда не – в упругой оси вращения, турбины, не переводят центр тяжести с за точку d, подальше от центра ответ на этот вопрос мы имеем в наших уравнениях движения, где центробежная сила представлена членами тх и ту, и эта сила уравновешивается не только силой упругости, но также и силой трения знакомства в твери. все эти силы вместе образуют замкнутый векторный четырехугольник (ср. ч. п, стр. 109, рис. 39 и стр. по, рис. 40; 77) и, следовательно, мы можем исследовать устойчивость рассматриваемого движения другим способом (см. ч. ii, стр. 305, 209). представим себе, что мы отклоняем рассматриваемую систему от того стационарного движения, которое мы получили из наших уравнений, т. е. представим себе, что мы сообщили турбине толчок, изменяющий угол <р, при неизменной скорости и, и спросим себя, каково будет дальнейшее движение? но при изменении угла <р координаты хну изменятся тоже на некоторые величины 5л; и 5у, т (х – f – 5а:) – f – c(x-\-bx) – f – b (x – f – 5л:) == be cos (и/); m (v -| – by) + c (у -\ ~ ? y) + b (x – j – bx) = be sin (ut) 88 iv. вращение твердого тела вокруг неподвижной оси вычтя из этих уравнений наши основные уравнения, мы получаем: как видим, величины 8л: и ьу будут совершать затухающие гармонические колебания (ср. ч. ii, стр. 102, 73). но это и означает, что рассмотренное нами движение с постоянным углом ср обладает устойчивостью. 70. уравнения эйлера.

Знакомства в киеве love tyt

круговой цилиндр. знакомства в киеве love tyt. полый цилиндр (обруч). 148. эллипсоид. 149. тело вращения. 150. эллипсоиды инерции 211—213 1. определение твердого тела. твердь. м телом мы будем называть систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. такое определение твердого тела (подобно целому ряду других определений теоретической физики) представляет собою идеализацию или отвлечение, которое делается для упрощения теории. в действительности же все твердые тела более или менее изменяемы: находясь под действием внешних сил, они изменяют и свой объем и свою форму. при подобных изменениях между соседними частями тела возникают внутренние силы реакции—так называемые молекулярные, или упругие силы. явления, сюда относящиеся, мы будем изучать в v части „теоретической физики”, в теории упругости, а здесь нас будут интересовать законы движения и покоя твердого тела, рассматриваемого как нечто целое\ при этом мы будем предполагать, знакомства в киеве love tyt те небольшие изменения знакомства в киеве love tyt форме и объеме тела, которые будут иметь место в знакомства в киеве love tyt, не окажут заметного влияния на общее движение тела. это предположение не только упростит наши вычисления, но и позволит нам изучать отдельно такие явления в твердых телах, которые совсем не обусловлены свойствами упругих сил. в тех случаях, когда такое упрощение теории скажется недопустимым, — а, как увидим ниже, такие случаи возможны даже и при небольших изменениях в форме и объеме твердого тела, — тогда и законы механики твердого тела нам будут недостаточны, и нам придется прибегнуть к теории 2. шесть степеней свободы твердого тела. мы можем здесь не принимать во внимание молекулярной структуры твердого тела, а считать его сплошь заполненным материей. при наших расчетах мы будем представлять себе твердое тело составленным из элементарных объемов dv} заполненных материей плотности р. в таком случае все твердое i ело будет представлять собой систему материальных точек, массой плотность р для различных точек может быть различной, а форма элементарного объема d v может быть выбрана нами произвольно; она, обыкновенно, выбирается сообразно с системой координат (ср. ч. i, стр. 39, 40). число таких материальных точек, из которых будет составлено рассматриваемое нами твердое тело, будет бесконечно. тем не менее, положение 1вердого тела в пространстве может быть вполне определено шестью координатами; следовательно, твердое тело имеет в механике шесть мы можем убедиться в этом и следующим образом. выберем в данном нам теле |ри каких-либо точки о, а, в, не лежащих на одной прямой линии; нетрудно видеть, что закрепив эти три точки, мы тем самым лишаем тело возможности двигаться как бы то ни было, т. ё. делаем неподвижными все бесконечное число его материальных точек. правда, положение трех выбранных нами точек в пространстве определяется, вообще говоря, 3-3 = 9 координатами, но в рассматриваемом нами случае координаты эти не независимы друг от друга, именно благодаря твердости тела, благодаря неизменности расстояний оа, ав, во. неизменность этих трех расстояний позволяет нам написать три уравнения которые свяжут 3 входящих в них координаты точек 0, а, в и оставят свободными только 6 координат. отсюда следует, что твердое тело имеет закрепим одну из материальных точек твердого тела, например о, что касается до самого выбора координат, определяющих положение твердого тела, то он может быть сделан как угодно, лишь бы выбранные шесть координат были независимы друг от друга и вполне определяли положение тела. в большинстве случаев нам удобно будет точку о с координатами xv yv гг взять в центре тяжести твердого тела, или в действительном закреплении тела; положение же тела относительно закрепленной точки мы можем определить следующим образом. Знакомства в киеве love tyt о мы примем за начало двух систем декартовых координат (прямолинейных и прямдугольных; рис. 1); одну из этих двух систем oqxqy0z0 мы будем считать неподвижной в пространстве (эту систему мы можем принять параллельной той неподвижной системе координат, относительно которой мы дали координаты х1у yv zv начальной точки о); другую систему координат oxyz с тем же началом о мы представим себе неизменно связанной с материальными знакомства в киеве love tyt твердого тела и участвующей во всех движениях тела относительно точки о (на рис. 1 эти координатные оси соединены пунктирными прямыми линиями). но положение всех точек твердого тела относительно системы координат oxyz остается не�
�зменным, а потому для определения положения твердого тела в про – странстве нам достаточно дать положение координат oxyz относительно координат ox0y0z0. мы знаем, что относительное положение двух систем координат с общим началом определяется девятью углами (или девятью косинусами углов), которые образуют оси одной из систем с осями другой системы (ср. ч. i, стр. 160, 142, ч. ii, стр. 194, 126); но так как обе наши системы прямоугольны, то между косинусами углов наклонения таких соотношений всего шесть, и следовательно, независимых углов остается только три в согласии с тремя степенями свободы твердого тела, закрепленного одной точкой о. самый выбор трех (независимых) основных углов остается и в этом случае произвольным, и. мы ниже в главе vi) познакомимся с координатами ср, ф, 0, предложенными эйлером, которые оказались наиболее удобными для описания движения твердого первых, мы предположим, что весь треугольник оав, оставаясь себе на* раллельным, переместился в положение oja’b1 пусть on представляет линию пересечения плоскостей 01а1в1 и oja’b9. повернем плоскость треугольника о^а’в1 вокруг on так, чтобы она совпала с плоскостью ojajb^ затем повернем тот же треугольник ога9в’ вокруг оси ol, перпендикулярной к плоскости 01a1bv до совпадения его с треугольником огагвг так как оба совершенных нами поворота элементарны (углы поворота бесконечно малы), то с ними можно обращаться как с векторами (ч i. стр. 28, 26), и заменить два поворота одним поворотом вокруг некоторой оси o^u (рис. 2) на некоторый угол da. таким образом перемещение треугольника из положения оав в положение 01а1в1 мы можем расчленить нз поступательное движение ог0 = с1фуко выразил полученный нами результат следующим правилом: волчок, который принуждается к равномерной прецессии, стремится наклонить знакомства в киеве love tyt ось так, чтобы знакомства в киеве love tyt собственное вращение знакомства в киеве love tyt параллельным принужденному вращению (т. е. чтобы уменьшить угол 9). обращаем внимание на то обстоятельство, что аналогичное правило мы имеем для магнитной стрелки1 стрелка стремится стать своим магнитным полем вдоль линий сил внешнего поля. магнитное поле аналогично угловой скорости принужденной прецессии, а магнитный момент 126 vi. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки стрелки аналогичен моменту импульса волчка. формулы моментов для волчка и для магнитной стрелки одинаковы знакомства в киеве love tyt(см. общий курс очень часто в уравнениях движения волчка принужденную прецессию заменяют эквивалентным ей моментом сил. из вышеизложенного непо – средств^но следует, что принужденная прецессия u эквивалентна эта формула нам пригодится при различных применениях 1еориь 95. введение координаты у. при многих исследованиях движения волчка, а особенно при исследовании малых нутаций, бывает, удобно на место угловой скорости ф ввести в уравнения угловую скорость (как мы эта величина i имеет простое геометрическое значение: она представляет собой проекцию угловой скорости ф на ось ol (ср. стр. 106, знакомства в киеве love tyt введении этой величины в наши уравнения нам встретится и знакомства в киеве love tyt этими соотношениями, мы можом переписать первое урав второе уравнение мы тоже преобразуем таким образом: мы разложим момент /иф на два составляющих момента вокруг осей ol и oz (ср. во всех случаях, которые мы будем разбирать ниже, момент сил вокруг оси симметрии волчка oz будет у нас равным нулю, и мы можем но если м<* —0, то и г=0, т. е. угловая скорость вращения волчка вокруг оси oz остается постоянной (как это мы имели и выше). приняв это во внимание, мы можем переписать второе уравнение (по 128 vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки 96. другой способ получения уравнений. уравнения предыдущего параграфа можно получить и независимо от выводов предыдущей главы, исходя непосредственно из основного уравнения моментов: мы уже пользовались этим уравнением знакомства в киеве love tyt выводе уравнений эйлера (стр. 89, 70), причем за оси координат мы принимали главные оси инерции тела. эти оси участвуют во всех движениях тела, поэтому вектор и представлял собой угловую скорость вращения самого тела. теперь мы выберем оси координат on, ol и oz (рис. 70; ср. рис. 71 стр. 106). эти оси тоже не остаются в покое относительно внешнего неподвижного пространства; но они и не следуют за всеми движениями тела. это видно уже на примере свободного волчка (стр. 109, 82), где оси on и ol участвуют в регулярной прецессии, но не вращаются вокруг оси симметрии волчка поэтому теперь вектор и уже не будет представлять
собой угловую скорость вращения тела, а угловую скорость вращения выбранные нами координаты участвуют в нутации и в прецессии; первое из этих движений имеет угловую скорость 0 вокруг оси on, а второе имеет угловую скорость ф вокруг вертикальной оси oz0 поэтому для углоьых скоростей вокруг осей on, ol> oz мы имеем выражения: если мы обозначим моменты инерции тела вокруг этих осей то можем для проекций момента импульса на эти оси написать: составляем выражения для проекций векторного произведения, входящего в основное уравнение моментов, на оси on и ol: эти уравнения несколько общее, чем уравнения предыдущего пара* графа, потому, что теперь моменты инерции а и в тела могут быть и неодинаковы. кроме того, эш уравнения более симметричны, чем мы можем для проверки результатов перейти обратно к эйлеровым эти уравнения при a = b совпадают с теми, которые мы получили 97. малые нутации быстро вращающегося волчка. впрочем, и эти уравнения могут быть решены точно только в простейших случаях, и то при помощи эллиптических интегралов, а потому нам приходится довольствоваться приближенными решениями. случай волчка, подверженного моменту силы тяжести, мы уже решали приближенным способом, предположив, что вращения волчка очень быстры. но в следующей главе мы встретимся с несколько более общей задачей, имеющей важное техническое применение (волчок-компас), а потому нам полезно будет уже теперь приготовиться к ней, и притом в форме насколько возможно обозначим через ft0, х0, ф0 значения входящих в наши уравнения величин, соответствующие стационарным движениям, т. е. регулярной прецессии. через v и pi мы обозначим небольшие отклонения от первые члены этих сумм во всяком случае постоянны и не меняются вторые же члены суть величины настолько малые, что мы можем с g ^° + v sin »0 sin v -|- cos d0 sin v c g ° ^ sin«tt0 ‘ соответственно с этим мы представим и моменты сия мь и мг в виде в которых первые члены соответствуют стационарному движению и, следовательно, независимы от v и |л, тогда как зависимость вторых членов настолько мала, что нам достаточно положить их пропорциональными соответствующим отклонениям. если мы теперь подставим все эти величины в уравнения моментов, то величины, соответствующие стационар – 130 vil вращение твердого тела вокруг неподвижной точки ному движению, взаимно уравновесятся, и у нас останутся только члены, зависящие от v и jjl и их производных по времени. мы не будем выписывать этих членов, но нетрудно видеть, что при подстановке у нас по – лучатся члены с произведениями x0v, xjxq, jiv, x0v, которые мь! Знакомства в киеве love tyt от – кинуть по их малости в сравнении с членами сп и од. оставляя только члены с первыми степенями переменных, мы получим линейные уравнения; написанные нами уравнения напоминают уравнения связанных колебаний (ч. ii, стр. знакомства в киеве love tyt, 93). однако в части ii мы ограничились исследованием случая упругой связи (когда в уравнении для х входила координата у) и случая инерциальной знакомства в киеве love tyt (когда в уравнение для х входила вторая производная у); знакомства в киеве love tyt того, мы ограничились более подробным исследованием слабой связи. теперь мы имеем перед собой несколько иной случай: в уравнение одной из переменных входит первая производная по времени другой переменной; кроме того, здесь нас интересует именно случай сильной связи между знакомства в киеве love tyt и д, выражающийся коэфициентом сг имея в виду только что сказанное, мы займемся решением этих 98. связанные колебания. для того чтобы можно было непосредственно сравнить знакомства в киеве love tyt теперешние вычисления с теми, которые мы производили в части ii (стр. 139, 93), мы напишем наши уравнения в такой здесь аг и а2 означают частоты собственных колебаний каждой из двух связанных систем х и у в том случае, когда связи отсутствуют (/^ = ^ = 0), и следовательно, имеют место уравнения: коэфициенты кг и k2 характеризуют степень связи; произведение k^k^ мы нетрудно видеть, что колебания одинаковых фаз не удовлетворили бы вышенаписанным уравнениям, а потому мы задались разностью фаз в 90°. если бы мы задались решением в комплексной форме (ч. ii, 148, 98), то это получилось бы у нас само собою. в прежних наших исследованиях связанных колебаний в части ii у нас в уравнения движения вхо – дили или члены кгу9 или члены k. y (связи были или упругие^ или инер – циальные), теперь же мы имеем члены ky с первой производной по вре» мени; это именно и служит причиной появления разности фаз в 90°. подставляя эти решения в диференциальные уравнения, получаем: перемножая оба уравнения д�
�уг на друга (для исключения амплитуд а и в), получаем для частоты а биквадратное уравнение: если же мы разделим одно уравнение на другое, то получим для определения знака этого отношения в различных частных случаях приходится обращаться к исходным уравнениям. итак, мы получили два различных значения для искомой частоты, которые мы обозначим через а и а”, причем каждому значению а соответствует свое значение отношения между амплитудами. поэтому мы можем две из входящих в эти выражения амплитуды, а также и две фазы аг и а2 определяются начальными условиями задачи. 99. сильная связь между колебаниями. коэфициент связи k, входящий в наши уравнения в применении их к волчку, будет содержать в себе множителем импульс волчка сг; в большинстве случаев величина сг настолько велика, что мы можем несколько упростить форму решений, а при большом значении л2 подкоренное выражение мало отличается от единицы, и мы можем применить приближенный способ извлечения 132 vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки при очень большом а2 мы можем даже удовольствоваться формулами: наконец, если величина а2 оягяь велика по сравнению с частотами aj и а2, то мы можем еще более упростить наши формулы, откинув в суммах величины а2 и а2 по сравнению с величиною k2; тогда в этом случае, как видим, результирующие частоты будут очень сильно отличаться друг от друга: одна из них пропорциональна частоте вращения волчка г, тогда как другая обратно пропорциональна этой величине г. такое сильное расхождение обеих частот колебаний обусловлено сильной связью между ними (ср. ч. ii, стр. 139, 93). что касается амплитуд, то мы получаем при этих условиях: если коэфициенты кг и k2 почти одинаковы, как это обыкновенно бывает в практических применениях, то амплитуды большей частоты в каждом из колебаний х и у тоже будут почти одинаковы, тогда как амплитуды меньшей результирующей частоты будут относиться друг к другу обратно пропорционально их основным частотам (которые имели результаты, которые мы получили для сильных связей, неприменимы, конечно, непосредственно ко всем другим случаям, тем не менее они весьма поучительны и характерны для связанных колебаний. 100. случаи, когда основные частоты одинаковы. исследование связанных колебаний значительно упрощается, если уже из условий задачи ясно, что частоты основных колебаний (т. е. при отсутствии связи) обеих систем одинаковы. мы могли бы написать результаты для этого случая, воспользовавшись формулами предыдущего параграфа, положив в них ai = a2e ^° гораздо нагляднее будет* если мы решим этот случай 100] случаи, когда основные частоты одинаковы 133 и подставляя их в диференциальные уравнения, мы получаем: при делении этих уравнений друг на друга мы получаем, что таким образом амплитуды оказываются равными. и на одновременно с рассмотренным треугольником движется и все твердое тело, т. е. все его материальные точки. отсюда следует, что и движение любой точки тела р мы тоже можем считать составленным из поступательного движения по направлению d$q и из поворота вокруг оси ou на угол da. если расстояние рассматриваемой точки тела р от точки о равно г, то полное перемещение точки р выразится суммой так как рассмотренное элементарное перемещение произошло в промежуток времени dt> то, разделив это уравнение на dt, получаем таким образом скорость любой точки р твердого тела мы мэжем выразить через поступательную скорость одной из его точек о и через вращательную скорость и вокруг оси проходящей через эту точку (ср. ч i, 4. угловая скорость вращения твердого тела. полученное нами во-первых, величина и направление поступательной скорость и остается для всех случаев одна и та же. осей, проходящих через эти точки, через иа и иь. тогда скорость какой – либо третьей точки тела я, отстоящей от точки а и в на расстояние гд и vby может быть выражена двумя способами: или исходя из точки л, но, о другой стороны, взяв точку а за исходную, мы можем для поступательной скорости второй точки в написать аналогичную формулу: где (га — гь) представляет расстояние точки в от точки а. если мы подстаним это выражение в предыдущую формулу и приравняем оба полученных нами выражения для скорости v , то получим: так как, вообще говоря, направление угловых скоростей непараллельно радиусам-векторам г (написанные нами векторные произведения не равны нулю), то это уравнение может быть удовлетворено всегда это означает, что какую бы точку твердого тела мы ни взяли за исходную, угловая скорость вращения тела вокруг оси, проведенной через эту точку, оказывается одна и та ж�
� и по величине и по направлению. это дает нам право величину и называть угловой скоростью вращения 5. мгновенная ось вращения тела. на основании полученной нами общей формулы для скорости движения любой точки р твердого тела мы можем знакомства в киеве love tyt в твердом теле такие точки, которые в рассматриваемый момент времени находится в покое. для этого достаточно положить это уравнение линейно относительно вектора г (расстояния искомой точки р от исходной точки о) и, следовательно, представляет собой прямую линию. действительно, если мы перепишем это уравнение в более обычной форме, т.

Знакомства в каменске

для того чтобы показать это, составим момент элементарной силы, приложенной к какой-либо точке р (рис. 21) тела вокруг центра при разложении в ряд величины q2 мы ограничились первыми степе* нями отношения — , потому что при умножении на [rpj мы уже полу – чим члены со вторыми степенями —. далее, мы можем принять во внимание, что [|т]=0 и что при интегрировании по всему объему тела поместим в рассматриваемое тело систему декартовых координат с началом в центре о инерции тела (рис. 21); оси же координат направим по главным осям инерции тела. пусть направление os образует с этими осями углы, косинусы которых равны соответственно а, р, у. тогда при вычислении проекций момента м на оси координат нам придется которые, как мы знаем, все равны нулю, если начало координат помещено итак, для вычисления момента сил у нас остается выражение: составим выражение для проекции момента сил на ось ох: мл = 3 -^\ [xy-a*(-\-y2–{-yz-f — zx-a$ — yz – — z2\^^dm. так как косинусы а, р, у (углов наклонения линии os к знакомства в каменске
координат) от положения точки р в теле не зависят, то эти величины могут быть вынесены за знак интеграла, и тогда под интегралами у нас оста – 38] момент сил, действующих на тело знакомства в каменске центральном поле 47 нутся произведения xyf yz, знакомства в каменске, которые дадут знакомства в каменске интегрировании знакомства в каменске инерции тела (ч. ii, знакомства в каменске, 184; стр. 18, 12) и величины дг2, у2, z2. но все произведения инерции при осях, направленных по главным если мы сравним стоящий здесь интеграл с формулами стр. 18, 12 для моментов инерции тела а, в, с вокруг осей ox, oy, oz, . то заметим, что интеграл этот равен разности явух моментов инерции (с — в). аналогичные формулы мы получим^ для проекции момента ъил и на другие оси координат, а потому мы можем написать их и без вычислений, заметим, что все эти формулы остаются в силе, независимо от формы тела; знакомства в каменске различной формы, но одинаковых моментов инерции, будут испытывать в центральном поле одинаковые моменты сил. в частном случае, когда тело имеет ось симметрии, так что два главных момента инерции тела одинаковы, то проекция момента сил на ось симметрии будет равна нулю. так, например, если а —в, то м7=0. такой случай мы имеем при действии солнца на землю. форму земли можно принять за эллипсоид вращения вокруг полярной оси земли, и следовательно, момент сил тяготения земли к солнцу не имеет составляющей вдоль знакомства в каменске оси земли; остаются только составляющие момента, лежащие в плоскости экватора. действие этих моментов мы если одна из главных осей инерции тела направлена по линии os, то из трех косинусов a, [j, у два будут равны нулю, и следовательно, все проекции момента м и самый момент сил м пропадают. если мы сопоставим результаты, полученные в этом параграфе, с результатами предыдущего параграфа, то действие отдаленного центра притяжения на материальное тело любой формы можно считать 1) из силы обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами о и s, аналогичной взаимодействию между двумя материальными точками или двумя однородными шарами. 2) из добавочной силы, обратно пропорциональной четвертой степени расстояния, ‘величина и точка приложения которой зависят от положения главных осей инерции тела относительно ноля тяготения. 3) из момента сил, величина которого обратно пропорциональна третьей степени расстояния; величина и направление момента сил зависят от расположения главных осей инерции тела относительно поля сил. 39. основные уравнения равновесия. если твердое тело находится в покое, несмотря на то, что на него действуют внешние силы, то говорят, что тело находится в равновесии; но можно также сказать, что силы, действующие на тело, находятся в равновесии. из этого определения непосредственно следует, что мы можем получить уравнение равновесия, если в уравнениях движения твердого тела положим все ускорения и скорости (включая сюда знакомства в каменске начальные скорости) равными нулю. мы получили выше два уравнения для свободного твердого тела — уравнение импульса и положив в них ускорения равными нулю, получаем два уравнения для те же уравнения мы могли бы получить и независимо от уравнений движения, исходя из принципа виртуальной работы, и притом представим себе, что сила f’* приложенная к какой-либо точке р твердого тела, передвигает эту точку на некоторое расстояние §s . но для абсолютно твердого тела величина смещения любой его точки р может быть выражена через смещение 8s0, одной какой-либо точки о тела и через элементарный угол поворота тела 5а знакомства в каменске(это есть вектор) вокруг оси, проходящей через” эту точку (стр. 8, 3): где г означает расстояние рассматриваемой точки р от основной точки о. если мы подставим это выражение в формулу работы силы f и просуммируем работу всех сил, приложенных к телу, то получим: в первом члене этой суммы мы можем общий для всех точек множитель ss0 вынести за знак суммы, а геометрическую сумму всех сил и общий для всех точек тела множитель 8а вынести за знак суммы; при этом сумму моментов всех сил мы можем заменить одним таким образом элементарная работа всех сил, действующих на тело, на основании принципа виртуальной работы (ч. ii, стр. 218, 143) в случае равновесия эта величина должна равняться нулю. если рассматриваемое нами твердое тело свободно и его движения не ограничены никакими добавочными условиями знакомства в каменске(связями), то величины §s0 и 5а совершенно произвольны и независимы друг от друга, и уравнение вир�
�уальной работы распадается на два независимых друг от друга уравнения, из этот результат совпадает с тем, что мы получили из уравнений движения (которые были составлены нами тоже для случая свободного тела); однако теперь выступает яснее следующее важное обстоятельство. так как точка о, вокруг которой мы составляли моменты сил, была нами выбрана совершенно произвольно, то при составлении уравнения моментов мы можем выбирать такую знакомства в каменске, которая нам наиболее удобна для дальнейших вычислений. при составлении уравнений движения мы должны были составлять моменты или относительно центра инерции тела, или относительно какой-либо неподвижной точки пространства; в противном случае уравнение моментов осложняется прибавкой члена, зависящего от скорости движения выбранной знакомства в каменске основной точки (ср. ч. ii, стр. 290, 200). при равновесии скорости всех точек тела равны знакомства в каменске, и мы можем взять любую его точку о за основную для составления моментов сил без итак, для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил, действующих на тело {равнодействующая сил) равнялась нулю и чтобы геометрическая сумма всех моментов этих сил вокруг любой точки тела (равнодействующая пара сил) равнялась если мы отнесем написанные нами два векторных уравнения к каким – либо неподвижным, например, декартовым координатам, то получим шесть в соответствии с шестью степенями свободы твердого тела. многочисленные примеры равновесия знакомства в каменске тел приводятся в элементарных курсах физики и механики, а потому мы ограничимся здесь 40. рычажные весы. большое практическое и научное значение имеют условия равновесия рычажных весов. на рис. 22 изображена схема подобных весов. как известно, к коромыслу весов прикреплены три стальные призмы (советуем читателю рассмотреть устройство весов в натуре): средняя призма обращена ребром книзу и положена на гладкий горизонтальный столик, стоящий на неподвижной колонке v. ребро этой призмы, перпендикулярное к рис. 22, обозначенное на нашей схеме буквой о, служит знакомства в каменске, вокруг которой коромысло bqcob может свободно поворачиваться. другие две призмы, ребра которых обозначены на нашей схеме буквами а и в, прикреплены к коромыслу ребрами кверху; на этих ребрах подвешены чашки весов. цель применения подобных призм заключается в том, чтобы достичь свободы качаний коромысла и чашек, устранив, насколько это возможно, влияние трения. сила трения, при соприкосновении твердых тел друг с другом, часто зависит от случайных причин, и влияние как это и бывает в действительности. буквой с у нас обозначено положение центра тяжести коромысла; углы, образуемые линией центра тяжести ос с коромыслами весов оа и ову мы обозначим через а и [$, а угол, образуемый линией ос=с с вертикалью, обозначим через ср к коромыслу весов приложены четыре силы: вес двух чашек ог и g2, вес коромысла g0 и реакция столика у ребра призмы q. первые три силы направлены вертикально вниз, тогда как последняя сила (реакция) направлена вертикально вверх. условие равновесия требует, чтобы материал призмы и столика, на котором лежит призма о должен быть выбран настолько твердыми (сталь, агат), чтобы при максимальной нагрузке весов они выдерживали силу q, по возможности знакомства в каменске сминаясь. теперь составим уравнение моментов всех сил вокруг ребра призмы о; при этом момент силы реакции q будет равен нулю и в уравнение не 01a-sin (а + ? ) — g%b-sin знакомства в каменске([5 — <р)-j— о0^-sinср == 0. положим на обе , чашки весов по одинаковому грузу qj^ot этого положение равновесия весов не должно измениться, и мы должны получить опять тот же самый угол ср, как и без этих грузов. но теперь уравнение (gj – f – q) a – sin (а + со) — (g2 – f – q) b-sin (g — cp) – f – gqc-sln cp = 0. оба составленные нами уравнения могут быть удовлетворены при одном и том же значении <р, если будет соблюдено условие: однако, если даже это условие и было бы соблюдено, то мы получили из которого видно, что поюжение равновесия, т. е. угол ср, зависело бы от веса чашек и веса коромысла. но обычно делают обе чашки одинакового веса (это можно сделать с большой точностью), а в таком случае, при gj = g2 мы получаем cp = 0. это означает, что весы будут находиться в положении равновесия, когда центр тяжести коромысла с придется вертикально знакомства в каменске осью качания весов о. этого следовало и ожидать, потому что при таком положении вес коромысла не может образовать момента вокруг оси и, следовательно, не может оказывать влия
ния на если положение равновесия весов получается при <р = 0, то вы (ненаписанное условие, которое необходимо для независимости угла ср от эти выражения представляют собою не что иное, как проекции плеч коромысла на горизонтальную (при <р = 0) линию, знакомства в каменске они равны, следовательно, так называемым плечам сил (которые вертикальны), приложенных к призмам а и в. но если плечи одинаковы, то, понятно само собой, что и моменты при равных силах всегда будут одинаковы и равновесие не нарушится как бы мы ни изменяли одинаковую нагрузку q чашек; этого 41. чувствительность весов. теперь будем испытывать весы в другом отношении. положим на правую чашку весов небольшой перевесок q\ этот перевесок произведет небольшое отклонение весов, которое мы знакомства в каменске
через ср. положение равновесия при таком перевеске определится из ога • sin(a +знакомства в каменске оказаться различным. однако для взвешивания это неудобно во многих знакомства в каменске, и желательно, чтобы величина отклонения весов была независима от того, на которую из двух чашек мы кладем перевесок д. другими словами, желательно, чтобы чувствительность весов была в обе стороны одинакова. какова же знакомства в каменске быть конструкция весов, чтобы удовлетворить этому условию? для решения этого вопроса сопоставим оба вышенаписанных уравнения моментов, приняв в них значение ср одинаковым. кроме того, мы предположим, что условия, полученные нами уже соблюдены. раскрыв скобки и сложив оба уравнения вместе (приняв во внимание и только-что написанные знакомства в каменске), получаем: мы можем достичь и этого условия, если сделаем короммсло весов по возможности симметричным^ а именно: сделаем оба плеча вес^в одинаковыми а = й и постараемся достигнуть одинаковости умов аир. чем лучше нам удастся достигнуть указанной симметрии, тем меньше будет отклонение весов зависеть от того, на какую чашку мы положили предположим, что весы наши удовлетворяют всем вышеуказанным условиям, и определим величину отклонения ср при данном перевеске q>
с этою целью вычтем одно уравнение моментов из другого и примем во внимание все написанные здесь условия.

Знакомства в городе коломна

в уравнения движения волчка-компаса мы ввели реактивные моменты волчка: при этом может возникнуть вопрос, почему явилась необходимость ввести эти моменты, когда волчок, повидимому, свободен в своих движениях, в противоположность инклинаторию и деклинаторию фуко (стр. 167, 117). дело в том, что основные уравнения моментов составлены в предположении, что координаты 0xyz неподвижны в пространстве, а между тем земные координаты, относительно которых мы измеряем углы аир, движутся вместе с землей. поэтому для получения правильных результатов мы должны или перейти от подвижных координат к неподвижным или ввести добавочные силы (у нас введены моменты сил). то же самое мы делаем и в других случаях; так, например, вертикальное положение отвеса определяется силой тяжести; но вследствие вращения земли получается отклонение (ч. ii, стр. 206, 136), которое мы объясняем теоретически, вводя добавочную силу, а именно: центробежную силу вращения земли. для того чтобы это было еще более наглядно, мы сделаем так: в уравнениях волчка-компаса мы не будем вводить добавочные реактивные моменты, но зато перейдем от подвижных координат к неподвижным. для этого нам достаточно заменить относительные изменения углов аир 120] дальнейшие усовершенствования волчка-компаса 171 абсолютными их изменениями по отношению к системе координат, не участвующей во вращении земли. в таком случае нам нужно к величинам аир прибавить изменения, обусловленные вращением земли. эти добавочные изменения мы уж вычисляли на стр. 164, 115. итак, мы должны а добавочные реактивные моменты откинуть. тогда получаем: что касается способа решений этих уравнений, то здесь возможно упрощение. так как отклонения а и [$ невелики, а период колебаний очень велик, то ускорения р и а будут настолько малы, что первые члены уравнения можно откинуть и ограничиться знакомства в городе коломна: эти уравнения представляют собой не что иное, как частный случай применения упрощенного уравнения моментов (стр. 124, 93): взяв производную по времени от первого уравнения и подставив в него значение ^ из второго уравнения, получаем: отсюда определяем частоту колебаний угла а, а затем из первого уравнения— постоянное отклонение и колебания угла [$. результаты согласуются с тем, что мы имели при более строгом расчете. 120. дальнейшие усовершенствования волчка-компаса. изложенная в предыдущих параграфах теория показывает, что волчок, действительно, может служить компасом; он имеет устойчивое положение в меридиане, а при случайном толчке совершает около этого положения гармонические колебания. большой период колебания оси волчка имеет то преимущество, что корабельная качка, период колебания которой в несколько секунд, на нее почти не влияет. но с другой стороны большой период колебаний не позволяет быстро определить среднее положение оси, т. е. направление плоскости меридиана. Знакомства в городе коломна этим причинам появилась необходимость устроить добавочное приспособление для возможно быстрого затухания колебаний. далее, опыт показал, что хо? я долевая качка корабля (вокруг оси, перпендикулярной к оси корабля) и не влияет на компас, но поперек* ная качка (вокруг оси корабля) может раскачивать его значительно, так как собственные колебания волчка с поплавком вокруг точки подвеса инеют период около одной секунды. более того, если ось корабля со* ставляет некоторый угол с осью волчка (с меридианом места), то поперечная качка производит односторонние отклонения оси волчка (угол а), и тогда пригодность волчка для мореплавания является сомнительной. это затруднение было преодолено м. шулером который предложил применять для компасов не один волчок, а систему из трех волчков, оси которых расположены в одной горизонтальной плоскости под углом в 60° друг к другу. при таком устройстве роза компаса по всем направлениям имеет период колебаний около 50 минут, и качка корабля (с периодом от 4 до 12 секунд) не оказывает на нее заметного действия. другие конструкторы вместо двух добавочных волчков устраивают один добавочный волчок с вертикальной осью для достижения той же на показания волчка-компаса могут влиять и другие причины. из полученных нами формул мы видим, что на постоянное отклонение р0 влияет широта места. при устройстве затухания колебаний появляется также постоянное отклонение и угла а0. однако оба эти отклонения очень малы, и для них составлены таблицы. далее, скорость корабля тоже может повлиять на показания компаса. мы предлагаем читателю самому сообразить, почему при движении ко
рабля вдоль меридиана на север ось волчка должна отклоняться на запад, тогда как при движении на юг ось волчка будет отклоняться на восток. впрочем, и эти отклонения, как нетрудно подсчитать, незначительны и тоже могут быть приняты во внимание как поправки при отсчете показаний розы компаса. несмотря на все указанные влияния волчки-компасы начинают входить в практику и заменять магнитные компасы, потому что влияние железных корабельных частей и электрических установок корабля на в 1921 г. Знакомства в городе коломна. шулер произвел с волчком-компасом интересный опыт определения направления географического меридиана. наблюдая отклонения оси волчка в ту и другую сторону во время ее колебаний, шулер определял среднее показание волчка; таким образом ему удалось определить положение географического меридиана с точностью до 10* (угловых секунд). весьма вероятно, что подобными же наблюдениями можно будет определить и угловую скорость вращения земли, и притом с такой же большой точностью (величина о) входит в уравнения движения оси волчка). эти опыты имеют большое научное значение: благодаря им мы имеем возможность определять положение географического меридиана места и скорость вращения земли вокруг ее оси совершенно независимо 121. искусственный горизонт. на кораблях и на аэропланах часто бывает необходимо иметь прибор, по которому можно было бы судить о направлении вертикальной линии или о направлении горизонтальной плоскости в некоторый момент времени. обыкновенный отвес для этой цели непригоден, так как неизбежная качка превращает отвес в маятник с большими размахами. на кораблях для указанной цели служит естественный морской горизонт. так, например, для определения широты места необходимо измерение высоты какой-либо звезды над горизонтом (конечно, в угловых мерах), это делается при помощи угломерного ин – струмента, называемого секстантом; визируя одновременно на горизонт и на звезду, определяют угол между этими двумя направлениями. но горизонт часто бывает закрыт облаками или неясно очерчен, и произвести желаемые измерения оказывается невозможным. еще в большей степени необходим горизонт на аэропланах, с которых часто совсем не видно естественного горизонта; а между тем для управления аэропланом необходимо знать в каждый момент ориентировку его крыльев относительно горизонтальнее плоскости. для всех этих целей были придуманы специальные приборы, основанные на свойстве волчка сохранять, несмотря на качку, направление оси вращения в пространстве неизменным. первый подобный прибор был сконструирован французом флериэ и применен к секстанту. в приборе помещен волчок с вертикальной осью, приводимый в быстрое вращение дутьем сжатого воздуха. точка опоры волчка (острее) помещалась немного выше его центра тяжести (как на рис. 89), поэтому волчок и при отсутствии вращения мог висеть достаточно устойчиво, а во время вращения его устойчивость увеличивалась настолько, что даже при сильной качке волчок совершал только незначительные нутации. при помощи зеркал и линз было достигнуто, что вращающийся волчок чертил в поле зрения трубы секстанта горизонтальную линию, — это и служило искусственным горизонтом при измерениях. незначительные нутации этого горизонта нисколько не мешали измерениям, и результаты получались достаточно точные для практических целей» из приведенного краткого описания мы видим, однако, что искусственный горизонт представляет собой принципиально то же самое, что и обыкновенный отвес; в отвесе точка опоры тоже лежит выше центра тяжести, а линия, соединяющая точку опоры с центром тяжести, перпендикулярна к горизонтальной плоскости. однако различие между этими двумя приборами и заключается именно в том, что обыкновенный отвес при качке получает большие размахи сравнительно небольшого периода качания, между тем как волчок-маятник делает только малые размахи, и притом сравнительно большого периода. при описании компаса мы уже указали, что период колебаний его может быть доведен до 50 минут. возможность при помощи вращающегося волчка достигнуть малых колебаний большого периода, или, как говорят, возможность стабилизировать маятник (или отвес), вытекает непосредственно из наших ураь – нений стр. 167, 118 и из того, что мы сказали об углах аир отклонений оси волчка-компаса (ср. также § 120). эта возможность и использована теперь для устройства искусственного горизонта. мы даем здесь знакомства в городе коломна. 109 и 110 одного из подобных приборов (аншютца), употребляемого на а�
�ропланах. на рис. 109 схематически представлен разрез прибора: м изображает оболочку, в которой помещен волчок – электродвигатель (как и в компасе на рис, 10&) с вертикальной осью вращения ojv. эта оболочка имеет снаружи ось 0202, вставленную в обруч ьъ (в разрезе); наконец, и обруч ьь в свою очередь имеет горизонтальную ось 0303. таким образом мы имеем здесь не что иное, как подвес кардана (рис. 90, стр. 151) с тем, однако, отличием, что ось 0303 проходит не через центр тяжести, а немного выше. к оси 0303 прикреплен диск //q//0, нижняя половина которого зачернена и который виден летчику сквозь стеклянное окошко (рис. по). линия ни на этом диске и представляет собой искусственный горизонт. одновременно с знакомства в городе коломна летчик может видеть вставленную в прибор кольцеобразную стеклянную трубку gqgq, наполовину наполненную маслом. уровень масла был бы тоже горизонтален, если бы аэроплан летел по прямой; но если аэроплан сворачивает на кривой, то уровень масла gg станет перпендикулярно к равнодействующей jr (рис. 110) силы тяжести и центробежной силы, возникающей при движении аэроплана по кривой. таким образом летчик может видеть на описанном приборе одновременно: направление плоскости крыльев аэроплана аа> направление горизонтальной плоскости нн а по разнице между направлениями нн рис.

Знакомства со слабослышащими

риц ft/ill 19. 34 г. поди, в печ. 9/л1 19j4 г. фогм«. т б>маги 62×91. abjo ск ли»т 18. ьум лист. с7/* неч. зц. в бум. листе 106 знакомства со слабослышащими. заказ № 479, уиилно*оч. главлит-i ь-7/281..

Знакомства системы мамба

обозначим для этого через /0 момент инерции 78 iv. вращение твердого тела вокруг неподвижной оси тела вокруг центра тяжести знакомства системы мамба (точнее вокруг — оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси о). тогда, как известно (стр. 20, 15). если мы обозначим через гг расстояние центра тяжести от центра качания, то на основании той же формулы можем написать (ср. рис. 46): где k обозначает радиус инерции тела вокруг оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси о. таким образом радиус инерции тела представляет среднее пропорциональное между расстояниями его если мы перевернем маятник и повесим его за точку ov т. е. дадим ему качаться вокруг оси 03, параллельной прежней оси о, то тогда, очевидно, расстояние центра тяжести от оси качания будет равно г, , а наша формула показывает, что в таком случае расстояние центра тяжести от таким образом точки г и гг обладают свойством взаим – i ности: когда одна из них служит осью качания, то другая служит центром качания. отсюда знакомства системы мамба также, что и ти период качания маятника т будут одни и те же, будет ли 62. оборотный маятник катера. на указанном свойстве рис. 47. осей о и ог физического маятника катер (kater, знакомства системы мамба) ос – маятник. новал очень точный способ измерения ускорения силы твердый стержень ав (рис. 47) снабжен двумя нризмами о и 01э ребра которых обращены друг к другу; расстояние между этими ребрами можно смерить с большою точностью. на стержне надеты две тяжелые чечевицы а и в, которые можно передвигать вдоль стержня и закреплять на любых расстояниях от призм. измеряют период качания маятника, во-первых, когда он висит на ребре о, и во-вторых, знакомства системы мамба он висит на ребре ог передвижением чечевиц, т. е. изменением момента инерции маятника и положения его центра тяжести, добиваются того, чтобы в обоих случаях период качания маятника был один и тот же; этого не трудно достичь, и притом с большой точностью. если это достигнуто, то наблюденному периоду качания т соответствует длина математического маятника /, равная расстоянию между ребрами призм. полученные таким образом величины т и / позволяют знакомства системы мамба ускорение силы тяжести g в том месте, где производился опыт, по формуле: впрочем, если даже периоды качании маятника вокруг осей о и ол немного отличаются друг от друга (точка ог не совсем точно совпадает с центром качания), тем не менее полученные из опытов данные после введения соответствующих поправок могут служить для точного определения величины т. кроме того, при точных измерениях принимают целый ряд других предосторожностей, на которых мы здесь не можем 63. крутильный маятник. мы рассматривали сейчас качания тела вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести. рассмотрим теперь тело с вертикальною осью вращения, на которое действует какая-либо сила, сопротивляющаяся его поворотам. эта сила может быть реализована какой-либо пружиной, или тело может висеть на вертикальной проволоке или нити, закручивающейся при повороте тела. подобные приспособления мы имеем в целом ряде измерительных приборов: в амперметрах, вольтметрах, гальванометрах и т. п. ; такое приспособление мы уже рассматривали при описании опытов кавендиша, бойса и других (ч. и, стр. 84, 57, 58), и самый крутильный маятник мы имели случай изучать в общей механике (ч. ii, стр. 100, 72). однако здесь мы рассмотрим этот вопрос знакомства системы мамба более общей форме, предполагая тело любой формы, точно так же и сила, сопротивляющаяся его поворотам, тоже может быть реализована как угодно; однако, для большей ясности и простоты задачи мы предположим момент этой силы пропорциональным углу а поворота тела. обозначив коэфициент пропорциональности через ±, мы можем написать уравнение и следовательно, период колебании рассматриваемого тела вокруг чувствительность прибора (угол а при данном моменте внешних сил) будет тем больше, чем больше коэфициент упругости 5. отсюда заключаем, что большая чувствительность всегда будет сопровождаться большим iv. вращение твердого тела вокруг неподвижной оси периодом колебания прибора т; а если мы желаем уменьшить этот период, чтобы сократить время, протекающее от начала действия внешнего момента сил до наблюдения отклонения прибора, то должны уменьшить, насколько это возможно, момент инерции / подвижной части прибора. все эти результаты применимы также к и случаю качания тела вокруг горизонтальной оси. при малых отклонениях мы и в этом случае имеем момент силы тяжест
и, пропорциональный углу отклонения: рычажные весы (стр. 50, 40) тоже представляют собою один из частных случаев stofo закона: — там знакомства системы мамба имели чувствительность: и момент сил пропорциональный углу отклонения ср: 64. реакция оси вращения. пусть тело вращается вокруг оси о с угловой скоростью и (рис. 48), центр тяжести с находится от оси вращения на расстоянии а. тогда при вращении на ось будет действовать направленная от оси к центру тяжести. реакция оси r будет равна и мы можем получить этот результат и из нашего основного при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью скорости всех точек тела остаются постоянными по величине, но меняют только свое направление. поэтому и импульс тела тоже будет оставаться постоянным по величине и изменяться только по своему направлению. в подобных случаях быстрота изменения вектора выражается через угловую скорость его вращения формулой (ч. i, стр. 42, 43 так как на тело ие действуют никакие внешние силы, кроме реакции 65. пример. в настоящее время угловые скорости вращения в некоторых технических приборах бывают очень значительны, и небольшая асимметрия в расположении материала во вращающихся частях может знакомства системы мамба пря вращении опасные для прочности оси центробежные силы. так, например, некоторые турбины лаваля делают до 200 оборотов в секунду, и знакомства системы мамба точек на их периферии могуг при этом достигать 400 метров в секунду. если мы предположим на периферии подобной турбины излишек массы всего в 10 г, то получим центробежную силу в уже из этого примера мы видим, как важно добиваться осерой симметрии во вращающихся частях не только в отношении геометрической их формы, но также и в расположении масс. так как на практике нельзя достичь желаемой симметрии одной только тщательностью в выделке вращающейся части, то после выделки и сборки вращающиеся части знакомства системы мамба особому испытанию на специальных приборах, которые позволяют измерять центробежные силы, действующие на ось вращения; добавляя или отнимая небольшие массы в различных местах вращающейся части, добиваются возможного минимума центробежных сил. 66. момент, ломающий ось. но предположим, что центр тяжести тела совершенно точно совпадает с осью вращения; тем не менее, если ось не направлена по одной из главных осей инерции тела, могут появиться моменты сил, направление которых перпендикулярно к оси и которые стремятся сломать ось. чтобы показать это, нам нужно обратиться к уравнению моментов. направим ось ох по оси вращения. если мы возьмем оси о к и oz, вращающиеся вместе с телом, то получим проекции момента по отношению к самому телу эти три величины постоянны, как и самый вектор к; но по отношению к внешнему пространству вектор к, оставаясь постоянным по величине, изменяет свое направление, вращаясь с постоянною скоростью и. а мы уже неоднократно видели (стр. 74, 57; стр. 80, 64), что изменение вращающегося вектора со временем по отношению к неподвижному пространству выражается формулой: сообразно с этим наши уравнения моментов (которые нужно 01носигь к неподвижному пространству) напишутся таким образом: iv. вращение твердого тела вокруг неподвижной оси так как внешних сил (кроме реакции оси) мы не имеем, то эти моменты должны знакомства системы мамба (уравновешиваться) моментами реакции оси.

Знакомства от 6 до 18

108, так как момент силы тяжести не имеет составляющей по вертикали, то момент импульса k остается постоянным. предположим, что в начале движения (? =0) волчок стоял вертикально; тогда момент импульса и эта величина остается постоянной и в последующие моменты движения, даже если мы толкнем ось волчка, сообщив ему небольшую ско – рость ft. при таком толчке мы прибавляем некоторый момент импульса вокруг оси ок9 но момент импульса вокруг оси oz остается подставляем эту величину k в уравнение импульса и несколько до сих пор наши формулы вполне точны, но они не позволяют оп – ределить ф независимо от &; а величина & нам пока еще неизвестна. теперь воспользуемся тем, что величина отклонения ft мала, и положим: второй член, стоящий в скобках, настолько мал по сравнению с между тем как выше, при неверном расчете, мы получили величину вдвое большую. как видим, наше первое приближение сводится к тому, 138 vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки что мы отбрасываем небольшие изменения прецессии со временем и принимаем псевдорегулярную прецессию за регулярную. чтобы проверить себя, мы можем определить производную прецессии по времени: откуда видим, что изменения прецессии со временем, действительно, но если с самого начала принять, что прецессия равномерна, то из положив в нем ф = 0, мы тоже получаем (cos & ==+^): эту величину ф мы пвдставляем в первое уравнение моментов: мь = mgs-sinb =»л» — лфз sin ь cos о-f – сгф sin а и, таким образом, получаем уравнение для нутаций (sin 0 = в; cos 0=1): это — известное диференциальное уравнение гармонических колебаний, и мы можем написать его решение в такой форме; эта формула верна при любых значениях скорости вращения волчка г, но при условии, что отклонения v0 незначительны. из этой формулы мы видим, что волчок может устойчиво вращаться вокруг вертикальной оси лишь до тех пор, пока его скорость вращения г удовлетворяет если вращение волчка замедлится еще более, то теоретически частота колебаний оси а делается мнимой; а практически это означает, что вертикально вращающийся волчок будет неустойчив и при малейшем 104. волчок-маятник при малых отклонениях. совершенно тот же прием мы можем применить и к тому случаю, когда точка опоры волчка помещена выше его центра тяжести, т. е. когда волчок подвешен, как маятник. в этом случае малые отклонения от вертикали будут означать, знакомства от 6 до 18 момента импульса вокруг вертикали напишется так: предположив, что в момент t = q маятник висел вертикально, мы и эта величина k при отсутствии моментов сил вокруг вертикали остается и to все последующие моменты движения неизменной. подставляя это опять, как и в предыдущем параграфе, пренебрегаем небольшими величина прецессии та же, как и для стоячего волчка, но она противоположного знака. этот результат мы тоже могли бы получить из вто – теперь введем угол а в первое уравнение моментов, приняв во я после подстановки значения ф даст нам диференциальное уравнение мы получили гармонические колебания волчка-маятника с частотой амплитуда v0 этих колебаний зависит от силы первоначального толчка. одновременно с этими колебаниями {нутациями) маятник будет совершать прецессию, величину которой мы определили выше. в следующем параграфе мы исследуем эти движения подробнее, а сейчас заметим только, что в рассматриваемом нами теперь случае частота а не может получить vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки мнимое значение (как это мы имели в предыдущем параграфе), и движение подвешенного волчка будет всегда устойчиво, что ясно само собой. 105. кривые, описываемые осью вертикального волчка. интересно рассмотреть подробнее те кривые, которые начинает описывать ось волчка обозначим расстояние рассматриваемой точки р оси волчка от точки опоры через / (ср. рис. 83 и 86, 107); тогда расстояние ее от вертикальной оси будет равно /siaft. если мы опустим из этой точки перпендикуляр на горизонтальную плоскость xy, проведенную через точку опоры, изменение x и у со временем и даст нам представление о движении оси волчка. подставляем сюда значения & и ф и получаем уравнение траектории точки в параметрической форме, причем параметром служит уравнения этих кривых можно написать и в такой форме: нетрудно видеть, что первые члены этих сумм составляют вместе дви – знак -|- мы поставили, чтобы показать, что вращение по кругу направлено в положительную сторону (как растут углы в тригонометрии); згу угловую скорость нужно представить себе отложенной по оси – f~ oz. вторые члены этих сумм составляют вместе тоже движение по кругу того же радиуса, но н
аправленное в противоположную сторону; угловая знакомства от 6 до 18 образом полученные нами кривые можно образовать сложением двух взаимнопротивоположных круговых движений одинакового радиуса, но различных частот. этим замечанием можно воспользоваться 106. частный случай. интересно применить полученные формулы к тому случаю, когда момент силы тяжести равен нулю (случай свободного положив mgs = 0f мы получаем для частоты нутаций: ту же величину, что и для прецессии, и уравнения траектории получают нетрудно видеть, что эти формулы представляют собой уравнения круга, окружность которого проходит через начало координат и центр два гармонических колебания по осям ох и oy одинаковой амплитуды и одинакового периода, но с разностью фаз в 90° дают вместе vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки для стоячего волчка а положительно, и угловая скорость движения по кругу должна быгь отложена по оси -\-oz\ для висячего волчка та же угловая скорость а должна быть отложена по оси — oz. при этом является вопрос, что означает это различие в знаке а, когда в рассматриваемом случае на волчок совсем не действует момент силы тяжести, и разница между стоячим и висячим волчком пропадает. эго различие в знаке прецессии не зависит, конечно, от ориентировки направлена по оси – f~ oz\ если же мы повернем ось рис. 82. колебания сво – и ляжет тоже по направлению — oz. описываемого круга от начала о соответствует половине амплитуды нутаций (рис. 82): далее, из написанных формул нетрудно (взяв производные по времени) определить скорость рассматриваемой точки следовательно, в начале движения, при / = 0 мы имели толчок был направлен параллельно оси ох, и, следовательно, оси волчка был сообщен момент импульса вокруг оси oy величиной этот импульс сложился геометрически с первоначальным моментом импульса о, а потому угол отклонения результирующего импульса мы видим, таким образом, что результирующий момент импульса будет направлен в центр того круга, который описывает волчок после 107] другой способ решения задачи о колебаниях вертикального волчка 143 удара. вокруг этого центра ось волчка будет вращаться с угловою таким образом в рассматриваемом случае нутация и прецессия волчка, произведенные толчком, слились вместе в одну регулярную прецессию этот результат можно было предвидеть, потому что рассматриваемый нами теперь частный случай тождествен с тем, который рассматривали колебаниях вертикального волчка. мы считаем чрезвычайно полезным рассмотреть малые колебания вертикального (полученные формулы нетрудно применить потом и к стоячему горизонтально и ось oz вертикально вверх% пока еще совершать свои колебания, оставаясь все время в одной и той же вертикальной плоскости. возьмем какую-либо подвеса на расстоянии /; проекция знакомства от 6 до 18 точки на плоскость xy будет мы положили здесь sin а = а, имея в виду только небольшие отклонения маятника от вертикали. обозначение г представляет расстояние обозначим через а момент инерции маятника вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса, через s — расстояние центра тяжести маятника от точки подвеса, через т — его массу й через g— ускорение силы тяжести. тогда уравнение моментов даст нам (стр. 88, 60): второе уравнение (в линейных мерах} получается из первого (в угловых мерах) умножением на /, так как отклонения мы предполагаем небольшими. имея в виду, что во время вращения волчка, маятник уже не будет оставаться в одной и той же плоскости, мы составим проекции написанного уравнения на плоскости zx и yz\ получаем два vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в соответствии с тем обстоятельством, что маятник имеет две степени свободы (ч. ii, стр. 152, рис. 70, 100). оба эти уравнения независимы друг от друга и показывают, что проекции маятника на плоскости zx и yz могут совершать гармонические колебания с одинаковыми теперь предположим, что волчок приведен во вращение, т. е. что ему сообщили некоторый момент импульса к = сг, направленный от точки подвеса к концу маятника. в момент / = 0 этот вектор будет направлен по оси —oz, и мы сообщаем маятнику небольшой толчок в направлении, параллельном оси ох (в плоскости zx). при вращающемся волчке маятник уже не будет следовать этому толчку и не будет сохранять свою плоскость колебания неизменной, а будет отклоняться в сторону под действием реактивного момента вращающегося волчка, где u означает угловую скорость поворота оси волчка во время качаний маятника. если мы обозначим проекции угловой скорости отклонения маятника на оси ох и oy знакомства от 6 до 18
ах и а , то величины проекций реак – тивного момента на те же оси будут сгах и cm . что же касается знака этих знакомства от 6 до 18, то их, правда, можно тоже определить из вы – шенаписанного векторного уравнения, но гораздо проще (и нагляднее) будет, если мы определим их, основываясь на правиле фуко (стр. 125, 94). по правилу фуко волчок всегда отклоняется в сторону оси рис. 84 и 85. отклонения висящего оси _|_ 0ху свернет в сторону по ли – мы можем описать это явление количественно, сказав, что у маятника здесь мы тоже, умножив на /, перешли от углового ускорения к совершенно таким же образом, применяя правило фуко, мы придем к заключению, что при движении маятника параллельно оси -{-oy, т. е. при вращении вокруг оси – f – ох (ср. рис. 85), реактивный момент ] 07] другой способ решения задачи о колебаниях вертикального волчка 145 волчка заставит маятник двигаться — отклониться к оси -}- ох и описать кривую ob (отклониться вправо) следовательно, у маятника появится на основании этих соображений мы должны изменить первоначальные уравнения движения маятника, прибавив к ним определенные выше деля эти уравнения на л и перенося все члены в одну сторону, мы мы имеем перед собой уравнения связанных колебаний (стр. 132, 100), причем основные колебания (при k = 0) обеих систем одинаковы. мы можем целиком применить уже полученные нами формулы и написать (мы выбрали те знаки, которые дают для частоты а’ и а!

Знакомства новокузнецк секс

73). уравнения движения остаются те же: однако теперь благодаря тому, что угол ъ0 тупой, частота собственных колебаний (при отсутствии связи; cosft0знакомства новокузнецк секс. 108, так как момент силы тяжести не имеет составляющей по вертикали, то момент импульса k остается постоянным. предположим, что в начале движения (? =0) волчок стоял вертикально; тогда момент импульса и эта величина остается постоянной и в последующие моменты движения, даже если мы толкнем ось волчка, сообщив ему небольшую ско – рость ft. при таком толчке мы прибавляем некоторый момент импульса вокруг оси ок9 но момент импульса вокруг оси oz остается подставляем эту величину k в уравнение импульса и несколько до сих пор наши формулы вполне точны, но они не позволяют оп – ределить ф независимо от &; а величина & нам пока еще неизвестна. теперь воспользуемся тем, что величина отклонения ft мала, и положим: второй член, стоящий в скобках, настолько мал по сравнению с между тем как выше, при неверном расчете, мы получили величину вдвое большую. как видим, наше первое приближение сводится к тому, 138 vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки что мы отбрасываем небольшие изменения прецессии со временем и принимаем псевдорегулярную прецессию за регулярную. чтобы проверить себя, мы можем определить производную прецессии по времени: откуда видим, что изменения прецессии со временем, действительно, но если с самого начала принять, что прецессия равномерна, то из положив в нем ф = 0, мы тоже получаем (cos & ==+^): эту величину ф мы пвдставляем в первое уравнение моментов: мь = mgs-sinb =»л» — лфз sin ь cos о-f – сгф sin а и, таким образом, получаем уравнение для нутаций (sin 0 = в; cos 0=1): это — известное диференциальное уравнение гармонических колебаний, и мы можем написать его решение в такой форме; эта формула верна при любых значениях скорости вращения волчка г, но при условии, что отклонения v0 незначительны. из этой формулы мы видим, что волчок может устойчиво вращаться вокруг вертикальной оси лишь до тех пор, пока его скорость вращения г удовлетворяет если вращение волчка замедлится еще более, то теоретически частота колебаний оси а делается мнимой; а практически это означает, что вертикально вращающийся волчок будет неустойчив и при малейшем 104. волчок-маятник при малых отклонениях. совершенно тот же прием мы можем применить и к тому случаю, когда точка опоры волчка помещена выше его центра тяжести, т. е. когда волчок подвешен, как маятник. в этом случае малые отклонения от вертикали знакомства новокузнецк секс означать, уравнение момента импульса вокруг вертикали напишется так: предположив, что в момент t = q маятник висел вертикально, мы и эта величина k при отсутствии моментов сил вокруг вертикали остается и to все последующие моменты движения неизменной. подставляя это опять, как и в предыдущем параграфе, пренебрегаем небольшими величина прецессии та же, как и для знакомства новокузнецк секс волчка, но она противоположного знака. этот результат мы тоже могли бы получить из вто – теперь введем угол а в первое уравнение моментов, приняв во я после подстановки значения ф даст нам диференциальное уравнение мы получили гармонические колебания волчка-маятника с частотой амплитуда v0 этих колебаний зависит от силы первоначального толчка. одновременно с этими колебаниями {нутациями) маятник будет совершать прецессию, величину которой мы определили выше. Знакомства новокузнецк секс следующем параграфе мы исследуем эти движения знакомства новокузнецк секс, а сейчас заметим только, что в рассматриваемом нами теперь случае частота а не может получить vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки мнимое значение (как это мы имели в предыдущем параграфе), и движение подвешенного волчка будет всегда устойчиво, что ясно само собой. 105. кривые, описываемые осью вертикального волчка. интересно рассмотреть подробнее те кривые, которые начинает описывать ось волчка обозначим расстояние рассматриваемой точки р оси волчка от точки опоры через / (ср. рис. 83 и 86, 107); тогда расстояние ее от вертикальной оси будет равно /siaft. если мы опустим из этой точки перпендикуляр на горизонтальную плоскость xy, проведенную через точку опоры, изменение x и у со временем и даст нам представление о движении оси волчка. подставляем сюда значения & и ф и получаем уравнение траектории точки в параметрической форме, причем параметром служит уравнения этих кривых можно написать и в такой форме: нетрудно видеть, что первые члены этих сумм составляют вместе дви – з�
�ак -|- мы поставили, чтобы показать, что вращение по кругу направлено в положительную сторону (как растут углы в тригонометрии); згу угловую скорость нужно представить себе отложенной по оси – f~ oz. вторые члены этих сумм составляют вместе тоже движение по кругу того же радиуса, но направленное в противоположную сторону; угловая таким образом полученные нами кривые можно образовать сложением двух взаимнопротивоположных круговых движений одинакового радиуса, но различных частот. этим замечанием можно воспользоваться 106. частный случай. интересно применить полученные формулы к тому случаю, когда момент силы тяжести равен нулю (случай свободного положив mgs = 0f мы получаем для частоты нутаций: ту же знакомства новокузнецк секс, что и для прецессии, и уравнения траектории получают нетрудно видеть, что эти формулы представляют собой уравнения круга, окружность которого проходит через начало координат и центр два гармонических колебания по осям ох и oy одинаковой амплитуды и одинакового периода, но с разностью фаз в 90° дают вместе vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки для стоячего волчка а положительно, и угловая скорость движения по кругу должна быгь отложена по оси -\-oz\ для висячего волчка та же угловая скорость а должна быть отложена по оси — oz. при этом является вопрос, что означает это различие в знаке а, когда в рассматриваемом случае на волчок совсем не действует момент силы тяжести, и знакомства новокузнецк секс между стоячим и висячим волчком пропадает. эго различие в знаке прецессии не зависит, конечно, от ориентировки направлена по оси – f~ oz\ если же мы повернем ось рис. 82. колебания сво – и ляжет тоже по направлению — oz. описываемого круга от начала о соответствует половине амплитуды нутаций (рис. 82): далее, из написанных формул нетрудно (взяв производные по времени) определить скорость рассматриваемой точки следовательно, в начале движения, при / = 0 мы имели толчок был направлен параллельно оси ох, и, следовательно, оси волчка был сообщен момент импульса вокруг оси oy величиной этот импульс сложился геометрически с первоначальным моментом импульса о, а потому угол отклонения результирующего импульса мы видим, таким образом, что результирующий момент импульса будет направлен в центр того круга, который описывает волчок после 107] другой способ решения задачи о колебаниях вертикального волчка 143 удара. вокруг этого центра ось волчка будет вращаться с угловою таким образом в рассматриваемом случае нутация и прецессия волчка, произведенные толчком, слились вместе в одну регулярную прецессию этот результат можно было предвидеть, потому что рассматриваемый нами теперь частный случай тождествен с тем, который рассматривали колебаниях вертикального волчка. мы считаем чрезвычайно полезным рассмотреть малые колебания вертикального (полученные формулы нетрудно применить потом и к стоячему горизонтально и ось oz вертикально вверх% пока еще совершать свои колебания, оставаясь все время в одной и той же вертикальной плоскости. возьмем какую-либо подвеса на расстоянии /; проекция этой точки на плоскость xy будет мы положили здесь sin а = а, имея в виду только небольшие отклонения маятника от вертикали. обозначение г представляет расстояние обозначим через а момент инерции маятника вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса, через s — расстояние центра тяжести маятника от точки подвеса, через т — его массу й через g— ускорение силы тяжести. тогда уравнение моментов даст нам (стр. 88, 60): второе уравнение (в линейных мерах} получается из первого (в угловых мерах) умножением на /, так как отклонения мы предполагаем небольшими. имея в виду, что во время вращения волчка, маятник уже не будет оставаться в одной и той же плоскости, мы составим проекции написанного уравнения на плоскости zx и yz\ получаем два vii. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в соответствии с тем обстоятельством, что маятник имеет две степени свободы (ч. ii, стр. 152, рис. 70, 100). оба эти уравнения независимы друг от друга и показывают, что проекции маятника на плоскости zx и yz могут совершать гармонические колебания с одинаковыми теперь предположим, что волчок приведен во вращение, т. е. что ему сообщили некоторый момент импульса к = сг, направленный от точки подвеса к концу маятника. в момент / = 0 этот вектор будет направлен по оси знакомства новокузнецк секс, и мы сообщаем маятнику небольшой толчок в направлении, параллельном оси ох (в плоскости zx). при вращающемся волчке маятник уже не будет следовать этому
толчку и не будет сохранять свою плоскость колебания неизменной, а будет отклоняться в сторону под действием реактивного момента вращающегося волчка, где u означает угловую скорость поворота оси волчка во время качаний маятника. если мы обозначим проекции угловой скорости отклонения маятника на оси ох и oy через ах и а , то величины проекций реак – тивного момента на те же оси будут сгах и cm.