Home > сайт знакомств с немцами > Знакомство с детьми в школе

Знакомство с детьми в школе

147. полый цилиндр (обруч). 148. эллипсоид. 149. тело вращения. 150. эллипсоиды инерции 211—213 1. определение твердого тела. твердь. м телом мы будем называть систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. такое определение твердого тела (подобно целому ряду других определений теоретической физики) представляет собою идеализацию или отвлечение, которое делается для упрощения теории. в действительности же все твердые тела более или менее изменяемы: находясь под действием внешних сил, они изменяют и свой объем и свою форму. при подобных изменениях между соседними частями тела возникают внутренние силы реакции—так называемые молекулярные, или упругие силы. явления, сюда относящиеся, мы будем изучать в v части „теоретической физики”, в теории упругости, а здесь нас будут интересовать законы движения и покоя твердого тела, рассматриваемого как нечто целое\ при этом мы будем предполагать, что те небольшие изменения в форме и объеме тела, которые будут иметь место в действительности, не окажут заметного влияния на общее движение тела. это предположение не только упростит наши вычисления, но и позволит нам изучать отдельно такие явления в твердых телах, которые совсем не обусловлены свойствами упругих сил. в тех случаях, когда такое упрощение теории скажется недопустимым, — а, как увидим ниже, такие случаи возможны даже и при небольших изменениях в форме и объеме твердого тела, — тогда и законы механики твердого тела нам будут недостаточны, и нам придется прибегнуть к теории 2. шесть степеней свободы твердого тела. мы можем здесь не принимать во внимание молекулярной структуры твердого тела, а считать его сплошь заполненным материей. при наших расчетах мы будем представлять себе твердое тело составленным из элементарных объемов dv} заполненных материей плотности р. в таком случае все твердое i ело будет представлять собой систему материальных точек, массой плотность р для различных точек может быть различной, а форма элементарного объема d v может быть выбрана нами произвольно; она, знакомство с детьми в школе
обыкновенно, выбирается сообразно с системой координат (ср. ч. i, стр. 39, 40). число таких материальных точек, из которых будет составлено рассматриваемое нами твердое тело, будет бесконечно. тем не менее, положение 1вердого тела в пространстве может быть вполне определено шестью координатами; следовательно, твердое тело имеет в механике шесть мы можем убедиться в этом и следующим образом. выберем в данном нам теле |ри каких-либо точки о, а, в, не лежащих на одной прямой линии; нетрудно видеть, что закрепив эти три точки, мы тем самым лишаем тело возможности двигаться как бы то ни было, т. ё. делаем неподвижными все бесконечное число его материальных точек. правда, положение трех выбранных нами точек в пространстве определяется, вообще говоря, 3-3 = 9 координатами, но в рассматриваемом нами случае координаты эти не независимы друг от друга, именно благодаря твердости тела, благодаря неизменности расстояний оа, ав, во. неизменность этих трех расстояний позволяет нам написать три уравнения которые свяжут 3 входящих в них координаты точек 0, а, в и оставят свободными только 6 координат. отсюда следует, что твердое тело имеет закрепим одну из материальных точек твердого тела, например о, что касается до самого выбора координат, определяющих положение твердого тела, то он может быть сделан как угодно, лишь бы выбранные шесть координат были независимы друг от друга и вполне определяли положение тела. в большинстве случаев нам удобно будет точку о с координатами xv yv гг взять в центре тяжести твердого тела, или в действительном закреплении тела; положение же тела относительно закрепленной точки мы можем определить следующим образом. точку о мы примем за начало двух систем декартовых координат (прямолинейных и прямдугольных; рис. 1); одну из этих двух систем oqxqy0z0 мы будем считать неподвижной в пространстве (эту систему мы можем принять параллельной той неподвижной системе координат, относительно которой мы дали координаты х1у yv zv начальной точки о); другую систему координат oxyz с тем же началом о мы представим себе неизменно связанной с материальными точками твердого тела и участвующей во всех движениях тела относительно точки о (на рис. 1 эти координатные оси соединены пунктирными прямыми линиями). но положение всех точек твердого тела относительно системы координат oxyz остается неизменным, а потому для определения положения твердого тела в про – странстве нам достаточно дать положение координат oxyz относительно координат ox0y0z0. мы знаем, что относительное положение двух систем координат с общим началом определяется девятью углами (или девятью косинусами углов), которые образуют оси одной из систем с осями другой системы (ср. ч. i, стр. 160, 142, ч. ii, стр. 194, 126); но так как обе наши системы прямоугольны, то между косинусами углов наклонения таких соотношений всего шесть, и следовательно, независимых углов остается только три в согласии с тремя степенями свободы твердого тела, закрепленного одной точкой о. самый выбор трех (независимых) основных углов остается и в этом случае произвольным, и. мы ниже в главе vi) познакомимся с координатами ср, ф, 0, предложенными эйлером, которые оказались наиболее удобными для описания движения твердого первых, мы предположим, что знакомство с детьми в школе треугольник оав, оставаясь себе на* раллельным, переместился в положение oja’b1 пусть on представляет линию пересечения плоскостей 01а1в1 и oja’b9. повернем плоскость треугольника о^а’в1 вокруг on так, знакомство с детьми в школе она совпала с плоскостью ojajb^ затем повернем тот же треугольник ога9в’ вокруг оси ol, перпендикулярной к плоскости 01a1bv до совпадения его с треугольником огагвг так как оба совершенных нами поворота элементарны (углы поворота бесконечно малы), то с ними можно обращаться как с векторами (ч i. стр. 28, 26), и заменить два поворота одним поворотом вокруг некоторой оси o^u (рис. 2) на некоторый угол da. таким образом перемещение треугольника из положения оав в положение 01а1в1 мы можем расчленить нз поступательное движение ог0 = с1все другие точки поверхности земли описывают винтообразные линии. хотя ось земли наклонена к плоскости эклиптики под постоянным углом в 66, 5°, но угол, образуемый этой осью с траекторией земли, меняется в течение года: весной угловая скорость вращения земли образует тупой угол с направлением ее движения по эклиптике, летом этот угол делается прямым, осенью он острый, зимой он снова делается прямым и т. д. (ср. ч. ii, рис. 20). вследствие наклона полярный оси траектории точек земной поверхности представляют собой не обы
чные, а перекосившиеся винтовые линии; кроме того, и ход этих винтовых линий меняется в течение года: весной и осенью мы имеем наибольший ход, тогда как летом и зимой, когда земля движется перпендикулярно к своей оси вращения, ход винтовых линий равен нулю. наконец, нетрудно сообразить, что весной точки поверхности земли описывают левые винты, тогда как осенью эти винты превращаются в правые. мы предлагаем читателю самому разобрать этот вопрос подробнее, а для большей наглядности он может воспользоваться какова скорость движения города москвы вокруг солнца в и. центр массы (инерции) твердого тела. твердое тело представляет собой частный случай системы материальных точек, а потому дальнейшие рассуждения наши будут вполне аналогичны тому, что мы уже масса твердого тела равна сумме масс всех его точек; для сплошного величины р и м мы будем считать неизменными, независимыми от скорости движения, что соответствует действительности с громадной центром масс (или инерции) твердого тела (или центром тяжести его) называется такая точка, которая при массе, равной м, образует вокруг любой точки пространства момент мгс, равный сумме моментов масс всех точек данного тела (ч. и, стр. 271, 181). обозначая координаты если начало коордднат мы выбрали в центре масс, то координаты хс% ус% zc будут равны нулю. отсюда мы видим, что момент всех масс точек, составляющих тело, вокруг центра масс равен нулю. 12. моменты инерции твердого тела. проведем через какую-либо точку данного нам твердого тела декартову систему координат и предположим ее неизменно связанной с материальными точками самого тела. в таком случае координаты каждой точки тела х, у, z и во время движения тела останутся неизменными. моменты инерции тела вокруг этих осей координат будут выражаться формулами (ч. ii, стр. 273, 182): момент инерции тела вокруг какой-либо оси ou, проходящей через начало координат и составляющей с осями углы, косинусы которых равны соотве1ственно а, ($, у, выражается через моменты инерции и произведения для твердого тела все эти величины а> в, с, d9 е, f9 i остаются и во время движения неизменными. однако величины эти при перемене начала координат и при перемене направления осей координат будут, конечно, меняться. в каждой точке тела можно выбрать направление осей координат так, что все произведения инерции будут равны нулю; эти направления называются главными осями инерции тела в рассматриваемой точке. при таком выборе осей координат вышенаписанная формула для а величины а0, в0, с0 называются главными моментами инерции тела 13. эллипсоид инерции. для более наглядного представления о моментах инерции вокруг различных осей, проходящих через рассматриваемую точку тела, пуансо (poinsot) предложил слеаующий графический метод. из рассматриваемой точки проводят лучи во все стороны и1на каждом где / означает момент инерции тела вокруг этого луча. совокупность полученных таким образом точек образует поверхность эллипсоида, уравнение которого мы получим, если в формулу для момента инерции подставим проекции на оси координата радиуса вектора г; а именно: форма и ориентировка этого эллипсоида характеризуют моменты инерции тела вокруг осей, проходящих через рассматриваемую точку; для различных точек тела и форма и ориентировка эллипсоидов инерции 14. тензор моментов инерции. из вышесказанного следует, что моменты инерции и произведения инерции тела вокруг осей, проходящих через какую-либо точку тела, представляют собой симметричный тензор если же оси координат направлены по главным осям инерции, то тензор упрощается, сохраняя только свои диагональные члены: в соответствии с этим эллипсоид инерции пуансо представляет собой один из тех тензорных эллипсоидов, которые мы рассматривали в общей возьмем какой-нибудь единичный вектор и19 проведенный от рассматриваемой точки тела, и пусть направление этого вектора определяется косинусами а, [5, у углов наклонения его к осям координат. если мы применим к этому вектору операцию, обозначаемую символом т7, то получим —-в этом именно и заключается значение символ т7. теперь составим нетрудно видеть, что мы получим таким знакомство с детьми в школе выражение для момента инерции тела вокруг оси ou, проведенной через рассматриваемую таким образом, применяя символы векторного (и тензорного) 15, радиус инерции. очень часто бывает удобно относить величину момента инерции к единице массы, введя величину k, определяемую эта величина называется радиусом инерции тела для данной точки тела и для определенного направления (ср. ч. ii, стр. 277, 185
. ). для различных точек тела и для различных направлений радиусы инерции могут быть весьма знакомство с детьми в школе. соотношение между радиусом инерции и в конце книги мы приводим вычисления, служащие для определения положения центра тяжести тел различной формы и моментов инерции, вокруг главных осей, проходящих через центр тяжести. если момент инерции 1с вокруг какой-либо оси, проходящей через центр тяжести, известен, то момент инерции вокруг параллельной ей оси, отстоящей от нее на расстоянии а (и следовательно, не проходящей через центр тяжести), определяется формулой (ч. ii, стр. 274. 183): или, вводя сюда радиус инерции тела относительно центра тяжести kc знакомство с детьми в школе образом, зная момент инериии (или радиусы инерции) тела по отношению к осям, проходящим через центр тяжести, мы легко можем вычислить и момент инерции вокруг любой другой оси, проведенной по любому направлению через любую другую точку тела. 16. импульс твердого тела. импульс твердого тела равен геометрической сумме импульсов всех его точек. для сплошного тела суммы переходят в интегралы, и мы можем для импульса написать формулу. где г означает расстояние рассматриваемой точки от начала координат, а <точка над буквой означает производную по времени. но, с другой стороны, положение центра тяжести тела определяется уравнением приняв это во внимание, мы можем импульс твердого тела представить где ус есть скорость движения центра тяжести. таким образом ценгр тяжести твердого тела играет роль материальной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. это правило нам будет встречаться 17. момент импульса твердого тела. момент импульса твердого тела иокруг какой-либо точки равен геометрической сумме моментов импульсов всех ею точек (см. ч. ii, сгр. 278, 187). нас будет интересовать •шхь, главным образом, момент импульса вокруг центра тяжести тела; центр тяжести тела может при эгом находиться в движении. выражение для момента импульса в этом случае упрощается (ч. ii, 278, 187): где г означает расстояние каждой точки тела до центра тяж< сти, a v — скорость движения этой точки; при этом под v мы можем подразууевать абсолютную скорость движения (относительно неподвижных координат) или относительную скорость точки по отношению к движущемуся центру тяжести. для того чтобы это было яснее, пусть v означает абсолютную скорость движения знакомство с детьми в школе точки тела. тогда для твердого тела век гор v можно разложить на два вектора: на вектор скорости центра тяжести vc и на вектор относительной скорости точки тела; но благодаря твердости тела относительная скорость будет не что иное, как вращательная скорость точки вокруг центра тяжести, и мы можем написать: первый член этой формулы для всех точек тела одинаков и может потому что момент масс вокруг центра тяжести (первый множитель) равен двойное векторное произведение мы разложили (по правилу ч. i, стр. 32, 31) на два вектора, из которых один напразлен параллельно угловой скорости тела и, а другой — по радиусу-вектору г, проведенном)4 из центра тяжести в рассматриваемую точку тела. возьмем начало декартовых координат в центре тяжести тела, а оси координат предположив неизменно связанными с материальными точками тела. тогда проекции* радиуса вектора г на оси координат х% у, г будет представлять приняв это во внимание, составим выражения для проекций вектора к нетрудно видеть, что коэфициентами при их, и , иг служат моменты инерции и произведения инерции тела относительно начала, т. е. относи – тельно центра тяжести тела (ср. стр. 1в, 12), а потому мы можем мы уже указали выше, что моменты инерции и произведения инерции для какой-либо точки твердого тела составляют симметричный тензор (стр. 19, 14), а теперь мы видим, что момент импульса твердого тела представляется в виде произведения этого тензора на вектор и угловой в частном случае, когда вращение происходит вокруг одной из главных осей инерции тела (в рассматриваемой точке), тензорное произведение превращается в простое произведение момента инерции на угловую следовательно, вообще говоря, вектор момента импульса к не совпадет по своему направлению с вектором угловой скорости и н только при вращении тела вокруг одной из главных осей инерции оба вектора к и и имеют одинаковое направление (ср* ч. и на одновременно с рассмотренным треугольником движется и все твердое тело, т. е. все его материальные точки. отсюда следует, что и движение любой точки тела р мы тоже можем считать составленным из поступательного движения по направлению d$q и из пов
рота вокруг оси ou на угол da. если расстояние рассматриваемой точки тела р от точки о равно г, то полное перемещение точки р выразится суммой так как рассмотренное элементарное перемещение произошло в промежуток времени dt> то, разделив это уравнение на dt, получаем таким образом скорость любой точки р твердого тела мы мэжем выразить через поступательную скорость одной из его точек о и через вращательную скорость и вокруг оси проходящей через эту точку (ср. ч i, 4. угловая скорость вращения твердого тела. полученное нами во-первых, величина и направление поступательной скорость и остается для всех случаев одна и та же. осей, проходящих через эти точки, через иа и иь. тогда скорость какой – либо третьей точки тела я, отстоящей от точки а и в на расстояние гд и vby может быть выражена двумя способами: или исходя из точки л, но, о другой стороны, взяв точку а за исходную, мы можем для поступательной скорости второй точки в написать аналогичную формулу: где (га — гь) представляет расстояние точки в от точки а. если мы подстаним это выражение в предыдущую формулу и приравняем оба полученных нами выражения для скорости v , то получим: так как, вообще говоря, направление угловых скоростей непараллельно радиусам-векторам г (написанные нами векторные произведения не равны нулю), то это уравнение может быть удовлетворено всегда это означает, что какую бы точку твердого тела мы ни взяли за исходную, угловая скорость вращения тела вокруг знакомство с детьми в школе, проведенной через эту точку, оказывается одна и та же и по величине и по направлению. это дает нам право величину и называть угловой скоростью вращения 5. мгновенная ось вращения тела.

  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: