Знакомства love555 ru

необходимо определить и реакцию оси вращения, чтобы знать, какова 142. горизонтальный удар кием по бильярдному шару. в предыдущей главе (стр. 1н1, 13i) мы рассматривали движение шара по горизонтальной плоскости при различных начальных условиях; теперь мы обсудим вопрос, каким образом можно реализовать эти начальные условия, сообщая кием толчок бильярдному шару. кстати это послужит нам наглядным примером применения уравнений предыдущего параграфа сперва мы разберем только горизонтальные удары кия в вер’икаль – ной плоскости, проходящей через центр (а следовательно, и через точку зададимся вопросом, как нужно произвести толчок, чтобы шар начал свое знакомства love555 ru по бильярду без скольжения для того ч«обы в момент улара не произошло скольжения, необходимо, чтобы мгновенная ось удара проходила через «очку касания шара с плоскостью бильярда обозначим через zc расстояние знакомства love555 ru. удара от центра тяжести шара, который при однородности бильярдных тарой совпадяет с его геометрическим центром рис 130; е^ли а оз-ачает радиус шара, то условие предыдущего параграфа в применении к данному случаю дает: подставляем сюда значение радиуса инерции шара (стр. 186, 127) итак, для получения чистого качения горизонтальный удар должен быть сделан выше центра шара, и притом на высоте, равной j радиуса шара. если мы ударим ниже, то получим качение, сопровождаемое скольжением в направлении движения шара; если знакомства love555 ru мы ударим выше, то шар ншравим горизонтальный удар кия в центр шара; для этого случая мы должны написать начальные условия в такой форме: действительно, момент импульса вокруг центра тяжести равен знакомства love555 ru, а импульс передается знакомства love555 ru центру тяжести тела, и начальная скорость v0 будет представлять собой скольжение. дальнейшее движение шара будет происходить по уравнениям (знакомства love555 ru. 187, 128): скольжение шара по плоскости бильярда прекратится в момент (vs = 0) после этого момента поступательная и вращательная скорость шара нетрудно видеть, что это действительно соответствует чистому теперь предположим, что шар получил горизонтально направленный удар очень близко к его точке касания (рис. 131). чтобы излишне не осложнять формулы, мы даже предположим, что z = —я, т. е. удар и дальнейшее движение шара будет происходить по уравнениям: прекратится не только скольжение шара vs = 0t но одновременно с ним обратятся в нуль и его поступательная, и его вращательная скорости: до сих пор мы предполагали удар в центральной плоскости шара. если удар будет произведен правее или левее центра, то, кроме разобранных выше начальных условий, появится еще момент импульса вокруг вертикальной оси шара, и шар начнет вращаться вокруг этой оси с это движение прибавится к тем, которые мы рассмотрели выше. так как вращение вокруг оси, проходящей через точку касания шара, может происходить почти без трения, то угловая скорость ьтого вращения может сохраниться надолго. даже и в том случае, когда шар перестанет катиться (см. выше), он может еще продолжать вращаться вокруг своей 143. косой удар по шару. мы видели в предыдущем параграфе, что при горизонтальном ударе почти у точки касания шара к бильярдной плоскости шар, правда, знакомства love555 ru вращение, обратное тому, которое ему необходимо для качения вперед, однако, это обратное движение уничтожается трением, и шар не катится назад, а, останавливается, пройдя некоторое расстояние вперед. нельзя ли, однако, ударить по шару так, чтобы получить и его обратное поступательное движение? для этого следовало бы сообщить шару момент импульса еще больший, чем мы эго делали. но мы ударяли уже в самой низкой точке шара, а потому увеличить момент импульса больше уже невозможно. тем не менее, получить обратное движение знакомства love555 ru шара вполне возможно (как это хорошо известно игрокам на бильярде), но для этого нужно ударять не в горизонтальном направлении (как то мы делали до сих пор), а произвести косой удар по направлению к плоскости бильярда (рис. 132). хотя при таком косом ударе мы тоже не можем произвести ббльшего момента импульса, чем прежде, но зато горизонтальная составляющая импульса получается при этом мен? ше. обозначив начальную скорость шара через v0j а начальную угловую скорость (вокруг горизонтальной оси) через —и0 (теперь: —и0=? — v0\t мы имеем уравнения движения: при сравнительно меньшей начальной знакомства love555 ru vq и время скольжения ^ делается меньше, и второй член послезней формулы остается меньше первого,
потому к концу скольжения у шара еще может остаться некоторая часть обратной угловой скорости, которая и покатит шар обратно (мы предоставляем читателю самому развить это более подробно, задавшись определенным углом и определенной точкой приложения кия). наконец, для получения движения бильярдного шара по параболе, о котором мы говсрили на стр. 193, 131, тоже необходим косой удар. в справедливости этого читатель может сам убедиться и на основании одно следствие косого удара мы оставили без внимания. дело в том, что при косом ударе, направленном на плоскость бильярда, шар получает некоторый импульс вертикально вниз. результат этого импульса должен быть такой же, как и при палении шара на бильярдную плоскость с некоторой высоты (стр. 196, 133); другими словами, шар должен будет подскочить после удара на некоторую высоту. это действительно и наблюдается на опыте. в наших расчетах это обстоятельство 144. предварительные замечания. формулы для моментов инерции тел различной знакомства love555 ru читатель может легко найти в различных технических справочниках. поэтому мы считаем достаточным привести здесь примеры вычислений моментов инерции таких простейших форм, которые наиболее тела мы знакомства love555 ru предполагать однородными, всюду одинаковой плотности р. но множитель р мы будем для упрощения формул опускать. при вычислении моментов инерции мы будем поступать следующим образом. поместив в центре тяжести тела систему координат oxyz, оси которой направлены по главным осям инерции системы (положение центра тяжести и направление главных осей инерции на наших примерах легко определяются из соображений о симметрии тела), мы будем вычислять сперва интегралы (ч. ii, стр. 27, 16) (ч. Знакомства love555 ru, стр. 18, 12): сложив эти интегралы попарно, получаем моменты инерции деля момент инерции на массу тела, получаем радиус инерции (ч. ii, в некоторых случаях осевой симметрии тела удобнее вычислять непосредственно момент инерции вокруг оси симметрии по формуле: зная главные моменты инерции относительно центра тяжести тела, мы можем вычислить момент инерции вокруг любой оси, проходящей через центр тяжести (стр. 18, 12; и вокруг любой ей параллельной оси 145. параллелепипед (рис. 133). центр тяжести прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2а, 2? , 2с помещается в точке пересечения грех плоскостей, проведенных через середины сторон и параллельно его совершенно таким же образом получаем моменты инерции складывая эти выражения попарно, получаем моменты инерции 146. круговой цилиндр (рис 134). Знакомства love555 ru радиус цилиндра через я, а длину (или высоту) его через 2с ось цилиндра примем за oci дискам, получаем момент инерции всего цилиндра относительно для определения момента инерции относительно плоскостей yz и кости oxz, мы должны проинтегрировать это выражение по а между пределы интегрирования для г и z будут соответственно равны: таким образом момент инерции цилиндра относительно плоскостей, доходящих через его ось будет выражаться формулой: складывая моменты инерции относительно плоскостей попарно, получаем моменты инерции относительно знакомства love555 ru(или вокруг) осей кооржнат: для сравнительно тонкого диска можно пренебречь длиной цилиндра с 147. полый цилиндр (обруч). положим, что поперечное сечение цилиндра ограничено двумя концентрицескими окружностями радиусов а0 масса такого цилиндра знакомства love555 ru(при р=»1) при длине его 2с равна: для определения момента инерции относительно оси симметрии цилиндра мы можем (в отличие от предыдущего параграфа) поступить таким образом. выделим мысленно кольцеобразный элемент поперечного сечения при радиусе г (рис. 135); его площадь равна и момент инерции слоя, толщиною dz, относительно оси симметрии равен интегрируя по всем кольцеобразным элементам между пределами если бы цилиндр был сплошной (#0 = 0), то мы получили знакомства love555 ru
для определения момента инерции относительно других осей приходится применять тот же способ, как и знакомства love555 ru предыдущем параграфе, только пределы интеграции будут для полого цилиндра несколько иные, а именно: вместо нижнего предела г=0 нам теперь нужно рзять: г=а0. для короткого полого цилинпра (для обруча) можеч принять (с = 0): наконец, для тонкого обруча можем положить а2 = а^ и написать: 148. эллипсоид. дан однородный эллипсоид с полуосями а, ьу с\ требуется рассчитать его моменты инерции (рис. 136). как знакомства love555 ru, масса однородного эллипсоида (при плотности р = 1) центр тяжести однородного эллипсоида лежит, очевидно, в его геометрическом центре. для вычисления моментов инерции проведем оси где z для полученного сечения есть постоянная величина мы получили, таким образом, уравнение эллипса. для определения главных осей этого эллипса аг и ьх (рис. 136) нужно в этом уравнении положить у = 0, и то объем рассматриваемого слоя толщиною dz будет знакомства love555 ru: а момент инерции этого слоя относительно плоскости xy будет: момент инерции всего элллпсоида относительно плоскости xy определится интегрированием этого выражения между пределами г = — с и моменты инерции относительно плоскостей yz и zx мы получим простой перестановкой букв а, ь, с (круговая перестановка). на основании этого мы можем написать для моментов инерции однородного эллипсоида вокруг его главных осей знакомства love555 ru выражения: нетрудно доказать, что это будут главные моменты инеряаи вллип – 149. тело вращения. так как в технике очень часто тела вращаются вокруг своей оси симметрии, то полезно разобрать и этот случай. расслоим мысленно такое тело на тонкие диски перпендикулярно к оси симметрии oz. момент инерции каждого такого диска толщиной dz вокруг оси симметрии нами уже определен выше (стр. 214, 147): поэтому момент инерции всего тела определится интегралом: конечно, при этом необходимо знать форму тела знакомства love555 ru, т. е. применим эту формулу к примерам, уже рассчитанным нами выше.

  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: