Знакомства д

равновесие сыпучего тела. если мы рассмотрим ближе кучку песка, то она нам представится в виде груды песчинок разнообразной формы, лежащих друг на друге в самых разнообразных положениях, подобно груде камней; отдельные песчинки удерживаются в равновесии частью выступами ниже лежащих песчинок, частью силою трения между песчинками. таким образом поверхность песка образует выступы и впадины весьма неправильной формы, зависящей от случайного расположения песчинок. однако, если нас интересует не положение отдельных песчинок, а общая форма, которую принимает сыпучее тело при равновесии, то мы можем заменить действительную неровную поверхность сыпучего тела некоторой средней поверхностью и объяснить наклон этой средней поверхности к горизонту трением песчинок об эту поверхность. чем меньше размеры песчинок, тем ближе будет наше предположение к действительности. такой прием, — замена действительного неоднородного тела некоторым воображаемым однородным телом, — часто применяется в теоретической физике для того, чтобы сделать наблюдаемые явления доступными расчету. например, в механике мы принимаем твердые, жидкие и газообразные тела за сплошные^ а между тем мы знаем, что они состояпг итак, мы будем принимать сыпучие тела, каковы сухой песок, сухая земля, различного рода зерно, насыпанное в мешках или закромах, тоже за сплошные тела, отдельные материальные точки которых (в отличие от твердых тел) могут передвигаться друг относительно друга, причем соприкасающиеся частички действуют друг на друга с силой трения, законы которого те знакомства д, что и для твердых тел (см. ч. ii стр. 50, 35). приняв это, нам нетрудно написать условие, которое должно быть соблюдено для того, чтобы какая-либо частица песка (песчинка) т (рис. 36) могла лежать на поверхности ав сыпучего знакомства д. применяя результаты предыдущего параграфа, мы можем написать это условие рис. 36. естественный откос, неоднородности и шероховатости сыпучего тела. любой песчинки (любой материальной точки), лежащей на поверхности знакомства д, то оно применимо игк самой поверхности. итак, поверхность сыпучего тела под действием силы тяжести может принимать различные коэфициент / можно определить непосредственно из опыта. если дать песку высыпаться из какого-либо отверстия (как в песочных часах) на горизонтальную плоскость, то образуется конус песка, образующие которого наклонены к горизонту под углом а0, знакомства д
эго объясняется просто тем, что все песчинки, образующие случайно углы большие а0 (вообще говоря) не смогут оставаться на поверхности, а будут скатываться вниз. так как этот угол а0 образуется сам собою при всяком рассыпании сыпучего тела, то его называют углом естественного откоса. вот несколько примеров углов естественного откоса: мы можем, следовательно, сказать, что угол естественного откоса а0 должна удерживаться стенкой. подпорная стенка должна быть рассчитана, во – перзых, на прочность самого материала стенки, затем на сопротивление сдвигу по направлению af и, наконец, на сопротивление опрокидыванию (момент сил вокруг ребра стенки е). при подобных расчетах можно также принять во внимание, что опрокидыванию сопротивляется не только момент веса самой стенки вскруг ребра е, но также и трение между внутренней поверхностью стенки ad и сыпучим телом. подробности этих расчетов можно найти в специальной технической литературе. образованием сыпучими телами естественных откосов объясняется целый ряд явлений, отличающих сыпучие тела от жидкостей даже и в том случае, если жидкость обладает большим внутренним трением. так, например, пусть на дне закрома (рис. 38), в котором насыпано зерно, имеется отверстие ау служащее для ссыпки зерна из закрома. достаточно установить под отверстием небольшую площадку /я/г, чтобы остановить высыпание зерна из закрома. сперва зерно будет высыпаться на площадку, образуя конус естественного откоса; но как только вершина этого конуса достигнет отверстия закрома, знакомства д дальнейшее высыпание зерна из закрома совершенно прекратится, независимо от высоты зерна в закроме. на этом примере мы ясно видим, что равновесие сыпучих тел существенно отличается от равновесия жидкости, даже и в том случае, рис. 38. зерно в знакомства д шарнирами, которые рис. 39. равновесие звеньев расходиться, но оставляют им полную свободу поворачиваться вокруг точки соединения. в обыкновенных цепях шарниры образованы самими звеньями (кольцами), но иногда, как, например, в висячих мостах и стропилах, шарниры образованы особыми болтами, вложенными в отверстия двух соседних звеньев. на каждый такой шарнир (знакомства д. 39) будут действовать следующие силы. во-первых, натяжения— тг и + тг а) соседних звеньев и, кроме того, некоторая нагрузка р. для равновесия шарнира подобные же уравнения мы можем написать для каждого шарнира цепи и, имея достаточное число уравнений, рассчитать реакции опор, где заделаны концы цепи, и усилия во всех звеньях, образующих цепь. Знакомства д мы не будем на этом останавливаться, а считаем более интересным и более важным перейти сейчас же к случаю гибкой, нерасгняжи – гибкую, нерастяжимую нить (например мягкую проволку) мы тоже можем рассматривать как цепь, состоящую из бесконечного числа элементарных звеньев, и для каждого такого звена написать уравнение равновесия, *) мы предполагаем, что идем вдоль цепи слева знакомства д, и в том же аналогичное тому, которое мы написали выше. но так как звенья нити бесконечно малы, то и разность натяжений в двух соседних участках (рис. 40) нити тоже будут бесконечно мала. мы получим в этом кроме того, мы знакомства д, что силы р, приложенные к нити, не сосредоточены в отдельных ее точках, а распределены непрерывным образом по длине нити. если мы обозначим нагрузку единицы длины нити через р, то знакомства д, приложенная к элементу нити ds, будет равна уравнения к частным случаям, полезно сделать одно преобразование общего характера. предположим, что силы, действующие на нить, имеют потенциал и что нагрузку р, которая для различных точек нити может быть различной величины и различного направления, можно представить в виде частной производной от некоторой (скалярной) функции u: величина u будет тоже своего рода потенциал сил, действующих на нить, но потенциал этот отнесен к единице длины нити. введя эту при выборе соотвествующего начала для счета потенциалов, мы можем итак, при знакомства д нити натяжение ее в любой точке равно потенциалу сил, приложенных к нити и отнесенных к единице длины нити. Знакомства д пример применения этой теоремы, предположим, что к нити приложены силы, направление которых в каждой точке нити перпенди – 531 равновесие нити под действием собственного веса 67 кулярно к соответствующему элементу длины нити ds\ нить представляет, таким образом, эквипотенциальную линию попя сил, действующих на нить. в таком случае u= const и т= const: натяжение нити по всей ее 53. равновесие нити под действием собственного вес
. мы получили если на нить действует только ее собственный вес, то нить будет висеть в вертикальной плоскости. возьмем в этой плоскости прямоугольную систему координат и направим ось ох горизонтально, а ось oy вертикально вверх (рис. 40). наше векторное уравнение распадается на два проекции натяжения нити т на оси координат мы можем представить так как внешние силы вертикальны (рх = 0; руг= — р), то первое из этих уравнений показывает, что горизонтальная проекция натяжения нити по всей длине одна и та же. для симметрии со вторым уравнением мы положили эту постоянную знакомства д пропорциональной нагрузке /? , но самый коэфициент пропорциональности а мы оставляем пока неопределенным; он зависит от условий задачи: от длины нити, от во втором уравнении мы можем положить постоянную интеграции с равной нулю. это означает, что мы будем считать начало нити s==0 в той ее точке, где ту = 0, знакомства д. е. в той точке, где нить горизонтальна; очевидно, это будет нижайшая точка нити. итак, мы знакомства д два натяжение т во всякой точке нити совпадает с направлением касательной к линии нити; поэтому мы получим величину тангенса угла наклонения этой касательной к горизонту, если разделим второе уравнение из этого уравнения мы уже можем получить знакомства д понятие о форме, которую принимает линия нити под действием ее собственного знакомства д. в нижайшей точке (знакомства д = 0; а = знакомства д) нить горизонтальна, а затем ее наклон к горизонту все увеличивается (рис. 40), причем тангенс угла наклонения касательной к горизонту пропорционален длине нити от нижайшей точки до рассматриваемой. этим свойством обладает так называемая для того чтобы получить уравнение линии нити, мы можем поступить следующим образом. возведем вышенаписанное уравнение в квадрат и прибавим к обеим частям его единицу. приняв во внимание, что постоянную интеграции мы приняли равной нулю, приняв, что при теперь мы произведем ту же самую операцию знакомства д уравнением, обратным и здесь мы положили постоянную интеграции равной нулю и имеем при 5 = 0, у = а. выбранные нами постоянные интеграции соответствуют положению осей координат, которое изображено на рис 40. мы пдлучили, таким образом, уравнение линии нити в параметрической форме, причем параметром служит длина нити 5, считаемая от ее нижайшей точки. для того чтобы получить уравнение в обычной форме, мы должны исключить параметр из наших двух уравнений. в результате это есть уравнение цепной линии. название „цепная9 эта линия получила именно по той причине, что такую форму принимает цепь (или гибкая нить), висящая на двух опорах, под действием собственного веса. заслуживает некоторого интереса кривизна цепной линии. предоставляем читателю проверить формулу для радиуса кривизны: наименьший радиус кривизны будет в нижайшей точке нити (5 = 0): наша задача еще не доведена до конца: у нас осталась неопределенной величина знакомства д. эта постоянная интеграции может быть определена только из так называемых пограничных условий. так, например, если нам дана длина s нити и провес ее /, т. е. разность между ординатами опоры и можно определить а. по известному а вычисляются затем и все остальные величины, входящие в приведенные выше уравнения. 54. упрощение задачи. на практике, однако, большею частью бывает: дано расстояние между опорами / и возможный провес проволоки fi а в таком случае приходится определять постоянное а из трансцендентного уравнения цепной линии, что представляет значительные неудобства. но в тех случаях, когда провес проволоки невелик по сравнению с расстояниями между опорами, можно довольствоваться приближением.

  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: