Знакомства com ua

регулярная прецессия волчка при действий момента си ы тяжести. прежде знакомства com ua» о зададимся вопросом, возможна ли регулярная прецессии во. чка, находящегося под действием момента си»ы тяжести, и при киких условиях она возможна. регулярной мы назвали такую прецессию, при которой (j) = const и, слеловате ьно, & = 0. подставив эти величины в уравнение момен юв мь, получаем после сокращения на sin э: эта величина, как мы уже знаем (стр. 109, 82), представляет регулярную прецессию того же волчка при отсутствии момента силы тяжести. то: да 86] регулярная прецессия волчка при действии момента силы тяжести 113 формула показывает, что, вообще говоря, возможны две регулярные прецессии: одна из них быстрая, другая медленная. однако, если нетрудно видеть, что при отсутствии момента силы тяжести (g= 0) вышенаписанная формула превращается в формулу регулярной прецессии другой крайний спучай мы имеем при отсутствии вращения, т. е. для стоячего волчка эта прецессия невозможна (ф получает мнимое значение), но для висящего волчка cosft гол ft, образуемый маятником с вертикалью, оставался неизменным. мы можем и про маятник сказать, что написанное условие для ф представляет для маятьика момент инерции а выразится через массу т и длину и если мы введем острый угол наклонения маятника к вертикали совпадающую с той, знакомства com ua мы получили для так называемого конического маятника ранние (ср. ч. ii, стр. 178, 116) для конического маятника возможны тоже две различных величины прецессии; но они сравнение с коническим маятником очень поучительно и придает нашим вычислениям ббльшую наглядность. было бы, например, совершенно неправильно думать, что при данных значениях величин л, с, г, ft и при наличии момента силы тяжести mgs sin ft волчок непременно будет а нужно понимать наш результат таким образом. если при вышеперечисленных данных мы сообщим волчку прецессию величины, равной одному из 114 vi. вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки написанных двух возможных значений ф, то волчок при таких условиях будет совершать регулярную прецессию, т. е. угол & будет оставаться постоянным. при других условиях (так же как и для простого маятника) прецессия, вообще говоря, не будет регулярна, и угол ь не будет регулярная прецессия волчка и при действии момента силы тяжести представляет собою устойчивое движение, и около этого движения возможны нутации. однако мы на этом останавливаться не будем и 87. прецессия волчка с нутацией. первое уравнение моментов (для мъ — mgs sin 0 — а9 — лф2 sin & cos & -|- crty sin &. здесь л означает момент инерции волчка вокруг оси о/с, проходящей через точку опоры; такой же момент инерции мы имеем и относительно оси oly перпендикулярной к ок. вокруг оси симметрии волчка остальные два уравнения моментов мы не будем переписывать, потому что мы предполагаем выбрать несколько иной путь решения это означает, что ни кинетическая энергия, ни потенциальная энергия тела не знакомства com ua от координат ф и ср. такие координаты называются циклическими (см. ч. ii, стр. 249, 163). импульсы, соответствующие циклическим координатам — в данном случае импульсы /fy и к^ — остаются постоянными (эго — общее правило), и мы можем воспользоваться этим для исключения циклических координат из наших уравнений. так, само собою исключаете координата <р; и действительно, угол <р не имеет значения дая дальнейшего решения задачи. угловая знакомства com ua <р тоже исключилась у нас, а осталась лишь постоянная скорость вращения г волчка вокруг его оси симметрии. этим обстоятельством мы уже момент импульса, соответствующий координате ф, напиыется так положим, чго в некоторый момент времени ^«=0 прецессия ф0 равнялась нулю и угол наклонения волчка к вертикали был равен &0. под – ставляя эти значения в знакомства com ua уравнение, получаем значение эта величина момента импульса остается постоянной и для всех последующих моментов времени, а потому уравнение момента импульса затем составим выражение полной (удвоенной) энергии волчка 2 (т + u) = а (о2 -|_ ф2 sin2») 4 – cr2 + zmgs cos 0 = const. полная энергия волчка должна во все время движения оставаться постоянной, так как мы предполагаем, что волчок продолжает bf ащаться и не падает, несмотря на действие силы тяжести. это, действительно, и если мы в выражение энергии подставим начальные условия, а и уравнение постоянства полной энергии может быть переписано в левая часть этого уравнения — существенно положительная величина; отсюда заключаем, что во все время движения это означает, что отклонения волчка от начального положения, когда
э было равно &0, могут происходить только в положительную сторону, то величину v нужно считать положительной гона может в некоторые моменты времени равняться и нулю, но не может быть отрицательной). мы видим, что и величина ф тоже всегда положительна^ за исключением тех случаев, знакомства com ua ft = &0; в эти моменты времени ф = 0. подставим это значение ф в уравнение энергии; тогда получаем 116 vi. Знакомства com ua твердого телл вокруг неподвижной точки которое содержит только одну координату 0 и начальные данные; все остальные координаты ф и ср исключились. на этом прлмере мы видим, почему циклические координаты называются в английской литературе исключаемыми (ч. ii, стр. 249, 163) координатами. в полученном нами уравнении слева стоит существенно положительная величина, а справа первый множитель тоже, как мы видели выше, всегда положителен (&^>^0)> следовательно, и второй множитель должен оставаться во все время движения положительным. отсюда заключаем» из последнего неравенства знакомства com ua видим, что разность (ft — 00), т. е. величина нутации v, вообще говоря, бывает невелика; в особенности она мала при больших значениях г, т. е. при быстрых вращениях до сих пор наши формулы были вполне точны, но это последнее замечание позволяет нам сделать значительные упрощения в формулах, если удовольствоваться приближенным расчетом рассматриваемого явления. 88. приближенное реиение. предположим, действительно, что правая часть нашего неравенства очень мала; знакомства com ua левая часть неравенства cos «) = cos (&0-f – v) = cos &0• знакомства com ua v — sin&0«sin v = подставляя эги формулы в уравнение для 9 и откидывая все члены вышенаписанное уравнение можно интегрировать сбычным способом (ср. курс интегрального исчисления), и мы предлагаем это сделать чита – телю самому, тогда знакомства com ua здесь мы выберем несколько иной путь решения, который мы неоднократно применяли и раньше. имея в виду, что нутация v должна быть периодична во времени и притом, как мы доказали выше, она должна быть положительной, попробуем задаться решением этого уравнения в такой форме: это решение удовлетворяет начальным условиям, по которым при /=0 и v должно равняться нулю; кроме того, v остается для любого времени / положительным. что касается до амплитуды нутаций v0 и до частоты а, то подберем их так, чтобы удовлетворить вышенаписанному v2 == v2 (1 – f cos2 at — 2 cos at) = — (v0 sin at)2 ц – 2v0v и подставим их в диференциальное уравнение. тогда получаем: (v0 sin atf [a2 — e] = v0 (1 — cos at) [d — 2? vj. для того чтобы это уравнение удовлетворялось знакомства com ua каждый момент времени (т. е. независимо от значения величины t), необходимо, чтобы выражения, стоящие в прямых скобках, сами по себе равнялись нулю. мы получаем, таким образом, два уравнения, из которых и подставляя сюда значения коэфициентов уравнения d и е, получаем: при очень быстрых вращениях волчка (т. е. при тех значениях г, которые знакомства com ua в практике) мы можем даже вторым членом знакомства com ua
выражении для частоты а пренебречь по сравнению с первым членом и 118 vi. вращение твердого тела знакомства com ua неподвижной точки эта величина представляет собой момент силы тяжести в начале движения (при / = 0), а также в те моменты времени, когда & = &0. в другие моменты времени момент сил м немного изменяется вследствие угла ft, т. е. вследствие нутаций. итак, для нутации мы можем нйписать: переходя к вычислению прецессии по формуле (стр. 114, 87): мы можем и здесь разность косинусов выразить через нутацию: подставляя сюда найденное нами выражение для v и заменяя 9 через 89. другой способ приближенного решения. в предыдущем параграфе мы применили приближенные формулы к уравнению энергии, но мы могли бы применить их также к уравнению моментов. сделаем это. на мы можем (пренебрегая величиною ф по сравнению с быстрым вращением волчка вокруг его оси г или <р) применить упрощенное уравнение: и присоединить к этому приближенное выражение для прецессии: вводя обозначение ji == ф sin ft, мы получаем два уравнения для подставляя второе уравнение в* первое, получаем диференциальное которое легко интегрируется, а именно (предоставляем читателю самому получив выражение для v, подставляем его во второе уравнение и определяем ji, а следовательно, и ф, в полном согласии с результатами предыдущего параграфа. написанные выше приближенные уравнения для ji и v нам будут ьстречаться неоднократно в таком, более симметричном 90. циклоидальное движение оси волчка. проинтегрируем выражение для ф по времени, приняв, что при /=0 угол ф был равен нулю, и для того чтобы от угловых отклонений перейти к линейным отклонениям, нам необходимо умножить величины ф и v на расстояние до соответствующей оси вращения. обратим внимание на какую-либо точку р оси волчка (большею частью это будет верхний конец оси волчка) и обозначим ее расстояние от точки опоры через /. нутации происходят вокруг оси, проходящей через опору, а потому линейное отклонение, соответствующее углу v, будет раино y = fo. прецессия происходит вокруг вертикальной оси по кругу" радиуса /sin00, поэтому линейное отклонение вдоль круга прецессии будет равно * = /sinft0-a) таким 120 vi.

  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: