Spaces знакомства

твердь. м телом мы будем называть систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. такое определение твердого тела (подобно целому ряду других определений теоретической физики) представляет собою идеализацию или отвлечение, которое делается spaces знакомства упрощения теории. в действительности же все твердые тела более или менее изменяемы: находясь под действием внешних сил, они изменяют и свой объем и свою форму. при подобных изменениях между соседними частями тела возникают внутренние силы реакции—так называемые молекулярные, или упругие силы. явления, сюда относящиеся, мы будем изучать в v части „теоретической физики”, в теории упругости, spaces знакомства здесь нас будут интересовать законы движения и покоя твердого тела, рассматриваемого как нечто целое\ при этом мы будем предполагать, что те небольшие изменения в форме и объеме тела, которые будут иметь место в действительности, не окажут заметного влияния на общее движение тела. это предположение не только упростит наши вычисления, но и позволит нам изучать отдельно такие явления в твердых телах, которые совсем не обусловлены свойствами упругих сил. в тех случаях, когда такое упрощение теории скажется недопустимым, — а, как увидим ниже, такие случаи возможны даже и при небольших изменениях в форме и spaces знакомства твердого тела, — тогда и законы механики твердого тела нам будут недостаточны, и нам придется прибегнуть к теории 2. шесть степеней свободы твердого тела. мы можем здесь не принимать во внимание молекулярной структуры твердого тела, а считать его сплошь заполненным материей. при наших расчетах мы будем представлять себе твердое тело составленным из элементарных объемов dv} заполненных материей плотности р. Spaces знакомства таком случае все твердое i ело будет представлять собой систему материальных точек, массой плотность р для различных точек может быть различной, а форма элементарного объема d v может быть выбрана нами произвольно; она, обыкновенно, выбирается сообразно с системой координат (ср. ч. i, стр. 39, 40). число таких материальных точек, из которых будет составлено рассматриваемое нами твердое тело, будет бесконечно. тем не менее, положение 1вердого тела в пространстве может быть вполне определено шестью координатами; следовательно, твердое тело имеет в механике шесть мы можем убедиться в этом и следующим образом. выберем в данном нам теле |ри каких-либо точки о, а, в, не лежащих на одной прямой линии; нетрудно видеть, что закрепив эти три точки, мы тем самым лишаем тело возможности двигаться как бы то ни было, т. ё. делаем неподвижными все бесконечное число его материальных точек. правда, положение трех выбранных нами точек в пространстве определяется, вообще говоря, spaces знакомства = 9 координатами, но в рассматриваемом нами случае координаты эти не независимы друг от друга, именно благодаря твердости тела, благодаря неизменности расстояний оа, ав, во. неизменность этих трех расстояний позволяет нам написать три уравнения которые свяжут 3 входящих в них координаты точек 0, а, в и оставят свободными только 6 координат. отсюда следует, что твердое тело имеет закрепим одну из материальных точек твердого тела, например о, что касается до самого выбора координат, определяющих положение твердого тела, то он может быть сделан как угодно, лишь бы выбранные шесть координат были независимы друг от друга и вполне определяли положение тела. в большинстве случаев нам удобно будет точку о с координатами xv yv гг взять в центре тяжести твердого тела, или в действительном закреплении тела; spaces знакомства же тела относительно закрепленной точки мы можем определить следующим образом. точку о мы примем за начало двух систем декартовых координат (прямолинейных и прямдугольных; рис. 1); одну из этих двух систем oqxqy0z0 мы будем считать неподвижной в пространстве (эту систему мы можем принять параллельной той неподвижной системе координат, относительно которой мы дали координаты х1у yv zv начальной точки о); другую систему координат oxyz с тем же началом о мы представим себе неизменно связанной с материальными точками твердого тела и участвующей во всех движениях тела относительно точки о (на рис. 1 эти координатные оси соединены пунктирными прямыми линиями). но положение всех точек твердого тела относительно системы координат oxyz spaces знакомства
неизменным, а потому для определения положения твердого тела в про – странстве нам достаточно дать положение координат oxyz относительно координат ox0y0z0. мы знаем, что относительное положение двух систем координат с общим началом определяется девятью углами (или девятью косинусами углов), которые образуют оси одной из систем с осями другой системы (ср. ч. i, стр. 160, 142, ч. ii, стр. 194, 126); но так как обе наши системы прямоугольны, то между косинусами углов наклонения таких соотношений всего spaces знакомства, и следовательно, независимых углов остается только три в согласии с тремя степенями свободы твердого тела, закрепленного одной точкой о. самый выбор трех (независимых) основных углов остается и в этом случае произвольным, и. мы ниже в главе spaces знакомства) познакомимся с координатами ср, ф, 0, предложенными эйлером, которые оказались наиболее удобными для описания движения твердого первых, мы предположим, что весь треугольник оав, оставаясь себе на* раллельным, переместился в положение oja’b1 пусть on представляет линию пересечения плоскостей 01а1в1 и oja’b9. повернем плоскость треугольника о^а’в1 вокруг on так, чтобы она spaces знакомства с плоскостью ojajb^ затем повернем тот же треугольник ога9в’ вокруг оси ol, перпендикулярной к плоскости 01a1bv до совпадения его с треугольником огагвг так как оба совершенных нами поворота элементарны (углы поворота бесконечно малы), то с ними можно обращаться как с spaces знакомства (ч i. стр. 28, 26), и заменить два поворота одним поворотом вокруг некоторой оси o^u (рис. 2) на некоторый угол da. таким образом перемещение треугольника из положения оав в положение 01а1в1 мы можем расчленить нз поступательное движение ог0 = с180. эйлеровы координаты. в предыдущей главе мы грименяли уравнения эйлера, в которые входят проекции угповой скорости вращения тела и, а также и проекции моментов внешних сил на оси координат, вращающиеся вместе с телом. для получения данных о вращении тела относительно неподвижного пространства мы должны были перейти spaces знакомства от – носителшых вращений к абсолютным вращениям, причем использовали и теорему пуансо. можно, однако, составить уравнения движение, в которые входили бы проекции угловых скоростей и моментов на координаты, неподвижные в пространстве, и в некоторых случлях эго удобнее плоскости координат x0yq и xy обеих систем будут пересекаться друг с другом по некоторой прямой on (линия узлов рис. 20, ч. ii), а прямую, перпендикулярную к on spaces знакомства лежащую в плоскости xy, мы обозначим этими тремя углами вполне определяется положение системы коорди* нат oxyz (а следовательно, и положение всего твердого тела) относительно неподвижной сис<емм ox0y{)z0 для того чтобы дока ать это, представим spaces знакомства, что сперва система oxyz совпадала с неподвижной системой ox y0ziy затем при заданном угле мы проводим в плоскости xqy0 линию on и повертываем систему oxyz вокруг этой линии on (как вокруг оси) на угол ft так, чтобы ось oz заняла свое положение^ как на рис. 70. 3aiem, повернув систему oxyz (т. е. все твердое spaces знакомства) вокруг оси oz на угол ср, мы получаем и положение осей ох и о к, как показано на рис. 70. таким образом двумя вполне определенными поворотами подвижной системы вокруг осей on – и oz mbi перешли от положения неподвижных координат к положению подвижных координат. следовательно, три выбранных нами угла в, ф, ср вполне определяют при изучении движения твердого тела вокоуг неподвижной точки нас будет интересовать не столько преобразование координат, как преобра – зо ание угловых скоростей в уравнения эйлера входили проекции оси, перпендикулярной к плоскости угла spaces знакомства, и притом по правилу угловая скорость ft имеет направление по оси on (рис. 71), и ее составляющие по осям координат oxyz равны соответственно: угловая скорость ф имеет направление по оси oz0; мы ее разложим сперва на два взаимно перпендикулярных направления oz и ol: а затем эту последнюю составляющую мы опять разложим на две — по ох тепепь нам остается только собрать все составляющие по отдельным осям oxyz и полученные суммы приравнять проекциям р9 q, п 108 vi. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки отсюда нетрудно получить и формулы обратного перехода: 81. уравнения движения в эйлеровых координатах. полученные нами выражения мы могли бы подставить в уравнения эйлера и, изменив соответственно проекции моментов сил, получить уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в эйлеровых координатах. однако мы предпочитаем вывести эти уравнения независимо от прежних, исходя из выражени�
� для энергии тела и применив метод лагранжа (ч. п. стр. 231, 151). мы ограничимся случаями, когда а = в. кинетическая энергия т вращающегося тела (для удобства spaces знакомства
мы берем удвоенную энергию) выразится теперь формулой: 2т=а (p* + q^ + cr* = a(sin4-v + b2)-{-c (<b, cos»-f-<p)a. проекции момента импульса к на различные оси мы получим, взяв частные производные от кинетической энергии по соответствующей угловой скорости (стр. 24, 19). для большей ясности мы поставили у проекции момента импульса два значка: один из них указывает на ось, на которую берется проекция, а другой — на соответствующую этой оси (обозначение г мы оставили и в этих формулах для сокращения письма; значение же г, выраженное через координаты эйлера, у нас дано выше. ) для составления уравнений лагранжа нам еще spaces знакомства частные производные по угловым координатам. прежде всего мы видим, что координаты ф и <р совсем не входят в выражение кинетической энергии (входят только угловые скорости ф и ср). поэтому мы spaces знакомства: как spaces знакомства, угловым координатам соответствуют моменты сил (ч. ii, стр 231, 151), поэтому уравнения лагранжа spaces знакомства каждой угловой составляя подобное уравнение для координат &, spaces знакомства(р, ср, получаем следующие уравнения движения в эйлеровых координатах: atw = аф sin2 s – f 2 аф » sin & cos s + cr cos » — cr b sin 6; и здесь мы нашли более удобным оставить в формулах величину г, хотя она и не относится к эйлеровым координатам, но, вводя ее, , мы 82. прецессия свободного волчка. в качестве примера применения уравнений предыдущего параграфа мы разберем еще случай волчка, на который не действуют моменты внешних сил (ср стр. 115, 87). далее, вполне возможен случай, когда при мд = 0 угол & остается во все время движения постоянным; это условие будет соблюдено, если мы выберем направление оси oz по направлению вектора к момента импульса вращающегося волчка. положив в первом уравнении моментов эту величину ф мы прежде обозначили вектором ь; она представляет собой угловую скорость вращения оси волчка вокруг oz (оси момента импульса к) и называется прецессией волчка. в рассматриваемом случае эта прецессия регулярна (величина ф не меняется со временем). наконец, положив в формулах преобразования угловых скоростей по vi. вращение твердого тела вокруг неподвижной точки все эти результаты совпадают с тем, что мы получили из уравнений эйлера. разница в наших вычислениях состоит только в том, что прежде spaces знакомства относили уравнения движения тела к координатам, вращающимся вместе с телом, а затем определяли движение по отношению к неподвижным координатам, тогда как сейчас мы шли обратным путем. 83. прецессия и нутация. прецессией мы назвали изменение со временем угла ф в эйлеровых координатах, изменение же угла & мы будем называть нутацией в предыдущем параграфе мы выбрали направление неподвижной, оси ozql совпадающее с направлением вектора момента импульса волчка к. ори таком выборе координат у нас угол & оказался постоянным, и, следовател» но, никакой нутации не получилось; кроме того, угловая скорость прецессии ф оказалась постоянной но если бы мы выбрали другое направление н? подвижной оси ozqt то, хотя угол межау векторами а и к’ оставался бы при движении постоянным, тем не менее угол между осью волчка и осью oz0 изменялся бы, и мы получили бы нутацию. действительно, ось волчка описывает вокруг неподвижной оси к круговой конус, и в некоторы мом* нгы времени < сь ро 1чкч будет находиться вне угла, образуемого к с осью oz0 тогда как, обойдя пол-оборота прецессионного движения в жруг оси к, ось волчка придется внутри этого угла. таким образом угол & между осью воччка и осью oz0 будет меняться периодически с частотой, равной угловой скорости spaces знакомства
вместе с изменением угла & будет при таком движении изменяться и угол ф, и притом с тою же самою частотою ф0. прецессия ф относительно тех координат, которые мы теперь прspaces знакомства. 72. разложение угло – свойству самого физического явления. вых скоростей. 84. удар по оси волчка пусть к0 (рис. 72) и uj — его угловую скороеib вращения. мы предполагаем, следовательно, чю волчок bpaimeica вокруг оаной из своих главных осей инерции и не совершает никакой препесии. предположим, что в некоторый моме it времени tq мы сообщаем оси волчка spaces знакомства, spaces знакомства. е. мгновенную силу f, приложенную к точке а оси на расстоянии г от его i;e »тра тяжести. и на одновременно с рассмотренным треугольником движется и все твердое тело, т. е. все его материальные точки. отсюда следует, что и движение любой точки тела р мы тоже можем считать составленным из поступательного движения по направлению d$q и из поворота вокруг оси ou на угол da. если расстояние рассматриваемой точки тела р от точки о равно г, то полное перемещение точки р выразится суммой так как рассмотренное элементарное перемещение произошло в промежуток времени dt> то, разделив это уравнение на dt, получаем таким образом скорость любой точки р твердого тела мы мэжем выразить через поступательную скорость одной из его точек о и через вращательную скорость и вокруг оси проходящей через эту точку (ср. ч i, 4. угловая скорость вращения твердого тела. полученное нами во-первых, величина и направление поступательной скорость и остается для всех случаев одна и та же. осей, проходящих через эти точки, через иа и иь. тогда скорость какой – либо третьей точки тела я, отстоящей от точки а и в на расстояние гд и vby может быть выражена двумя способами: или исходя из точки л, но, о другой стороны, взяв точку а за spaces знакомства, мы можем для поступательной скорости второй точки в spaces знакомства аналогичную формулу: где (га — гь) представляет расстояние точки в от точки а. если мы подстаним это выражение в предыдущую формулу и приравняем оба полученных нами выражения для скорости v , то получим: так как, вообще говоря, направление угловых скоростей непараллельно радиусам-векторам г (написанные нами векторные произведения не равны нулю), то это уравнение может быть удовлетворено всегда это означает, что какую бы точку твердого тела мы ни взяли за исходную, угловая скорость вращения тела вокруг оси, проведенной через эту точку, оказывается одна и та же и по spaces знакомства и по направлению. это дает нам право величину и называть угловой скоростью вращения 5. мгновенная ось вращения тела. на основании полученной нами общей формулы для скорости движения любой точки р твердого тела мы можем определить в твердом теле такие точки, которые в рассматриваемый момент времени находится в покое. для этого достаточно положить это уравнение линейно относительно вектора г (расстояния искомой точки р от исходной точки о) и, следовательно, представляет собой прямую линию. действительно, если мы перепишем это spaces знакомства в более обычной форме, т. е. в декартовых координатах с началом в точке о, причем проекции вектора г на оси координат обозначим через spaces знакомства, уу г, этими тремя уравнениями вполне определяется прямая линия. так как все точки этой линии в рассматриваемый момент времени находятся в покое, то мы можем себе представлять движение твердого тела в виде чистого вращения вокруг этой оси. эта ось называется мгновенной осью вращения твердого тела; spaces знакомства „мгновенная” желают указать, что рассматриваемая прямая линия служит осью вращения тела для рассматриваемого spaces знакомства, — для некоторого момента времени t. с те» чением времени ось вращения может изменяться, перемещаясь как относительно неподвижного прострашпва, так и относительно материальных точек самого твердого тела. мы встретимся с такими случаями в spaces знакомства v и vi. в. винтовое движение.